Ao longo das publicações em
Geometrias
constatámos diversas propriedades deixando ao cuidado do leitor a sua demonstração.
Perceber o porquê, também me inquieta. Seguem-se, então, justificações para três propriedades que me reapareceram recentemente.
Mariana S. 2022
Seja o triângulo $\; \Delta [ABC] $. $\; \dot{C}M\;$ bissetriz do ângulo $\; B\widehat{C}A $, $\; M \;$ a interseção da bissetriz $\; \dot{C}M \;$ com o circuncírculo de centro $\; O \;$, $\; OM\; $ mediatriz de $\; \overline{AB}$.
Propriedade 1.a)
Num triângulo a bissetriz de um ângulo e a mediatriz do lado oposto a esse ângulo, intersetam-se num ponto $\; M\;$ do circuncírculo.
Figura 1
Prova:
$\; A\widehat{C}M \; =\; M\widehat{C}B,$ $\;\dot{C}M\;$ é bissectriz de $\; \angle \widehat{C}$
Então, $\;\displaystyle\frac{\widehat{AM}}{2} \;$ = $\; \displaystyle\frac{\widehat{MB }}{2}$, $\; A\widehat{C}M \;$ e $\; M\widehat{C}B \;$ são ângulos inscritos.
Logo, $\; \widehat{AM}\;$ = $\; \widehat{MB},\;$ $\;M\;$ é o ponto médio do arco $\;{AB}\;$, está à mesma distância de $\;A\;$ e de $\;B\;$, logo $\;M\;$ pertence à mediatriz de $\;[AB]\;$
c.q.d.
Propriedade 1.b) $\;M\;$ é equidistante de $\;A,\;I. \;B, \;I_c\;$ sendo $\;I\;$ o centro do círculo inscrito no triângulo $\; \Delta[ABC]\;$ e $\; I_c\;$ o centro do círculo ex-inscrito oposto a $\;C$.
Figura 2
Prova: Queremos provar que $\; MA \; =\; MB \; = \; MI\;= \; MI_c\; $
$\;MA\; = \; MB\;$ pois $\;M\; $ pertence à mediatriz de $\; [AB]$
Observemos o triângulo $\;\Delta [CIA]:\;$
$\;\displaystyle A\widehat{I}M =\frac{\widehat{A}}{2} \; + \; \displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}$, o ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes. $\;AI\;$ é a bissectriz do ângulo $\; \angle \widehat{A}$
$\;\angle A\widehat{M}C \;=\; \angle A\widehat{M}I\; = \; \angle \widehat{B},\;$ ângulos inscritos no mesmo arco
$$\;\displaystyle I\widehat{A}M \;=\; 180° - \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \;
= \;( \widehat{A} + \widehat{C}) -\frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \; \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} $$
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, $\;MA \;=\;MI\;$
$\;I\widehat{A}I_c \; = \;90°\;$, as bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares
$$ \displaystyle \angle M\widehat{A}I_c\;= \;90° - \angle I\widehat{A}M \; = \; 90°- \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{180° - \widehat{A} - \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{\angle \widehat{B}}{2} $$
$$ \angle M\widehat{I_c}A\; = \;\angle I\widehat{M}A - \angle M\widehat{A }I_c \;=\; \widehat{B} - \frac{\angle \widehat{B}}{2}\; = \;\frac{\angle \widehat{B}}{2}$$
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, $\; \overline{MA} \; = \overline{MI_c}\;$ e como $\; \overline{MI} \; = \overline{MI_c},\;$ $\;M\;$ é ponto médio de $\; II_c\;$
c.q.d.
Sendo $\;R\;$ o raio do circuncírculo
Propriedade 2. O círculo que passa pelos três ex-incentros de um triângulo tem raio $\;2R\;$ e centro $\;I'\;$ simétrico de $\;I\;$ relativamente a $\;O\;$
Figura 3
Prova: Tracemos a perpendicular a $\;AB\;$ por $\;I_c.\;$ Esta é paralela a $\;OM\;$ e intersecta $\;IO\;$ em $\;I'.\;$
Sendo $\;M\;$ o ponto médio de $\;\overline{II_c},\;$ $\;O\;$ é o ponto médio $\;\overline{II'}\;$ e $\;\overline{I'I_c} \;=\; 2\overline{OM}\;=\; 2R.$
De forma análoga se demonstra que $\;\overline{I'I_A}\; = \;\overline{I'I_B}\; = \;\overline{I'I_C}\; = \;2R. \;$Logo $\;I'\;$ é o centro da circunferência que pssa pelos ex-incentros e o seu raio é $\;2R.\;$
c.q.d.
Propriedade 3. $\;r_a + r_b + r_c \; = \;4R + r,\:$ sendo $\;r_a,\; r_b \;$ e $\; r_c \;$ os raios das circunferências ex-inscritas, $\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e $\;R\;$ o raio da cirunferência circunscrita.
Figura 4
Prova:
Seja $\;P\;$ o pé da perpendicular tirada por $\;I_B\;$ para $\;AB.\;$ $\;I_B = r_b\;$
Seja $\;Q\;$ o pé da perpendicular tirada por $\;I_A\;$ para $\;AB.\;$ $\;I_AQ = r_a\;$
Seja $\;X'\;$ o ponto de intersecção de $\;I'I_C\;$ com $\;AB.\;$ $\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja $\;X'\;$ o ponto de intersecção de $\;I'I_C\;$ com $\;AB.\;$ $\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja $\;X'\;$ o ponto de intersecção de $\;I'I_C\;$ com $\;AB.\;$ $\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja o ponto de intersecção do círculo de $\;I'I_C\;$ inscrito com $\;AB.\;$ $\;OD\;$ é a mediana do trapézio $\;[IXI'X'].\;$
$$\;OD \; = \;\displaystyle \frac{IX+I'X'}{2}\; =\; \frac{r+(2R~r_c)}{2}$$
Seja N a intersecção da mediatriz de $\;AB\;$ com o circuncírculo. Provemos agora que $\;N\;$ é ponto médio de $\;I_AI_B :\;$
Os ângulos $\;I_AAI_B\;$ e $\;I_ABI_B\;$ são retos ( as bissectrizes interna e externa são perpendiculares). Assim, existe uma circunferência que passa pelos pontos $\;I_A,\; A,\; B\;$ e $\;I_B. $ de diâmetro $\;I_AI_B.\;$ Sendo $\;OM\;$ a mediatriz de $\;AB,\;$ $\; N\;$ é o centro da circunferência de diâmetro $\;I_AI_B.\;$
$\; N\;$ é ponto médio de $\;I_AI_B.\;$
Então $\;ND\;$ é a mediana do trapézio $\;[I_APQI_B]\;$
$$ND \; =\; \displaystyle \frac{r_a + r_b}{2} \;\Leftrightarrow\; R + OD \;= \;\frac{r_a + r_b}{2} \Leftrightarrow R + \frac{r+(2R - r_c)}{2}\;=\;\frac{r_a+r_b}{2} \Leftrightarrow $$
$$4R +r \; =\; r_a + r_b + r_c \;$$
c.q.d.
O conhecimento destas e outras propriedades facilita-nos a resolução de vários problemas. Por exemplo:
a) Em
www. geometrias.blogspot.com , em 5.12.o6 , publica-se o seguinte exercício interativo
Determinar os vértices de um triângulo $\;\Delta[ABC]\;$ de que se conhecem o centro $\;I\;$ do circulo inscrito, o centro $\;I_C\;$ do círculo ex-inscrito em $\;C\;$ e o centro $\;O_e\;$ do círculo definido pelos três ex-incentros $\; I_a,\; I_b\;$ e $\;I_c\;$
Figura 5
A vermelho encontram-se os objetos alvo, a descobrir.
Usando as propriedades acabadas de demonstrar:
O ponto médio de $\;II_C,\; M,\;$ é equidistante de $\;A,\; I\;$ e de $\; B\;$ e situa-se no circuncírculo.
O centro do circuncírculo é o ponto médio de $\;O_eI \;$ e o seu raio é metade de $\; O_e I\;$
Figura 6
b)no site
geometriagon
encontramos o seguinte enunciado do n° 1679
Determinar o vértice $\;A\;$ do triângulo $\; \Delta [ABC],\;$ conhecidos o lado $\;[BC],\;$ a altura $\;h_a\;$ a ele relativa e a diferença entre a soma dos raios dos círculos ex-inscritos e o raio do círculo inscrito.
E apresenta-nos o seguinte exercício interativo
Figura 7
Atendendo à última propriedade referida, a reolução é simnples.
Figura 8
Claro que a solução acima apresentada não é única.
Mariana Sacchetti.
Aveiro, Janeiro de 2022
O centro da circunferência pretendida é a interseção da mediatriz de $\;[PQ]\;$ com a reta $\;OQ\;$ (sendo $\;Q \;$ o ponto que pertence ao círculo)
