MS : Problemas de Apolonio (continuadas - 4)

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(4) Círculo tangente a duas retas e um ponto (LLP)
iniciativa de Mariana Sacchetti:

4.1. As duas retas são paralelas

4.1.1. As duas retas são paralelas e o ponto está fora da faixa entre elas

Esta situação não tem solução

4.1.2. As duas retas são paralelas e o ponto pertence a uma delas

Esta situação tem uma única solução Basta traçar a perpendicular às retas a passar por P que interseta a outra reta no ponto D. O segmento de reta [PD] é o diâmetro do círculo pretendido

4.1.3. As duas retas são paralelas e o ponto está entre elas


Esta situação tem duas soluções Os centros dos círculos pretendidos situam-se na linha média entre as paralelas e têm raio igual a metade da distância entre elas


4.1. As duas retas são secantes

4.1.1. As duas retas são secantes e o ponto não pertence a nenhuma delas


Esta situação tem duas soluções
Sabemos que os centros dos círculos pretendidos se situam na bissetriz do ângulo. Traçamos um círculo auxiliar (O, OF) tangente às duas retas e com centro na bissetriz. Consideremos as homotetias com centro em A deste círculo auxiliar. Traçando a reta AP esta corta o círculo auxiliar nos pontos F e G. Por P tracemos paralelas a OF e a OG. Estas determinam os centros O1 e O2 das soluções pretendidas consoante consideramos P homotético de F ou P homotético de G.

4.1.2. As duas retas são secantes e o ponto pertence a uma delas


Esta situação tem 2 soluções.
Basta traçar as bissetrizes e uma reta perpendicular a AP no ponto P. Esta reta determina nas bissetrizes os centros dos círculos pretendidos.


4.1.3. As duas retas são secantes e o ponto pertence a ambas

Esta situação não tem solução

Problemas de Apolónio (continuada)

iniciativa de Mariana Sacchetti:
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.


3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não

Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3) Os pontos não pertencem à reta e estão do mesmo lado

3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Sendo $\;[AB]\;$ uma corda do círculo pretendido o seu centro situa-se na mediatriz de $\;[AB]\;$ e o seu raio é a distância da linha dos centros à reta dada $\;(𝑀𝐶)$.
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$

3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.

A mediatriz de $\;[AB]\;$ determina na reta dada o ponto de tangência $\;(T)$. Trata-se, então, de desenhar o círculo que passa por 3 pontos

3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções



$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).