21.3.22
De duas circunferências concêntricas uma delas vê-se ao espelho que a outra é....
Problema:
Considere a circunferência c, a preto na figura, e a inversão a ela associada na figura. Determine a transformada por essa inversão da circunferência verde, v
14.3.22
Seja espelho a dourada circunferência: qual a posição da imagem do ponto A a esse espelho?
Considere a inversão associada à circunferência dourada e determine o transformado de A por essa inversão.
...o triângulo retângulo com uma hipotenusa e a soma dos catetos dadas
.... continuando
Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:
Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:
Figura 3
Seja $\;c\;$ a hipotenusa e $\;a, \;b\;$ os catetos
$$\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\;$$ Assim podemos determinar $\;r\;$ e $\;R\;$ e resolver como o problema anterior.
Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo $\;[ABC]\;$ de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:
Figura 4
As retas $\;AB\;$ e $\;BC\;$ são perpendicular em $\;A.\;$
A partir de $\;A\;$ marcando $\;r\;$ sobre as duas retas determinamos $\;I, \;$ centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja $\;D, \;$um ponto livre sobre o arco $\;EF.\;$ Traça-se a tangente à circunferência inscrita em $\;D.\;$ Esta tangente determina os vértices $\;B \;\rm{e}\; C\;$ sobre as retas $\;AB\;$ $\;AC.\;$
Quando $\;D\;$ percorre o arco $\;EF,\;$ todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.
Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.
Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:
Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:
Figura 3
Seja $\;c\;$ a hipotenusa e $\;a, \;b\;$ os catetos
$$\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\;$$ Assim podemos determinar $\;r\;$ e $\;R\;$ e resolver como o problema anterior.
Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo $\;[ABC]\;$ de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:
Figura 4
A partir de $\;A\;$ marcando $\;r\;$ sobre as duas retas determinamos $\;I, \;$ centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja $\;D, \;$um ponto livre sobre o arco $\;EF.\;$ Traça-se a tangente à circunferência inscrita em $\;D.\;$ Esta tangente determina os vértices $\;B \;\rm{e}\; C\;$ sobre as retas $\;AB\;$ $\;AC.\;$
Quando $\;D\;$ percorre o arco $\;EF,\;$ todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.
Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.
12.3.22
Triângulo retângulo dados raios de incírculo e circuncírculo
... continuado do anterior...
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Resolvamos, agora o problema:
Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta $\; AB.\;$ (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto $\;A\;$ e sobre uma reta suporte de $\;AB,\;$ o ponto $\;B\;$ dista $\;2R\;$ de $\;A.\;$
Tracemos uma reta à distância $\;r\;$ da reta $\;AB.\;$ Determinemos $\;\overline{𝐼𝑂}\;$ (média geométrica de $\;R\;$ e $\;R-2r\;$). A circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;\overline{𝐼𝑂,}\;$ determina sobre a reta paralela a $\;AB\;$ dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por $\;A\;$ ou por $\;B\;$ desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice $\;C\;$ sobre a circunferência circunscrita.
Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta $\;AB\;$, como se vê nos últimos passos da construção.
a continuar
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Resolvamos, agora o problema:
Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta $\; AB.\;$ (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto $\;A\;$ e sobre uma reta suporte de $\;AB,\;$ o ponto $\;B\;$ dista $\;2R\;$ de $\;A.\;$
Tracemos uma reta à distância $\;r\;$ da reta $\;AB.\;$ Determinemos $\;\overline{𝐼𝑂}\;$ (média geométrica de $\;R\;$ e $\;R-2r\;$). A circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;\overline{𝐼𝑂,}\;$ determina sobre a reta paralela a $\;AB\;$ dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por $\;A\;$ ou por $\;B\;$ desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice $\;C\;$ sobre a circunferência circunscrita.
Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta $\;AB\;$, como se vê nos últimos passos da construção.
a continuar
11.3.22
Triângulo rectângulo
A 13.04.06,
em Geometrias
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:
$\overline{IO}^2 = R(R -2r),\;$ em que $\;I\;$ é o centro da circunferência inscrita, $\;O\;$ é o centro da circunferência circunscrita, $\;R\;$ é o raio da circunferência circunscrita e $\;r\;$ é o raio da circunferência inscrita.
Podemos assim dizer, de outra forma, que a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita é a média geométrica entre $\;R\;$ e $\;R-2r,\;$ sendo $\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e $\;R\;$ o raio da circunferência circunscrita.
Observemos a seguinte figura:
Figura 1
$\;I\;$ incentro ; $\;O\;$ circuncentro; $\;CE\;$ bissetriz do ângulo $\;C\;$; $\;FE\;$ mediatriz de $\;[AB]; \;AI\;$ bissetriz do ângulo $\;\widehat{A}\;$, $\;IJ\;$ paralela a $\;AB\;$
Prova:
O triângulo $\;[AEF]\;$ é retângulo, logo
$$\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)$$
O triângulo $\;[AEI]\;$ é isósceles, $\;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\;$ a bissetriz do ângulo $\widehat{C}\,$ e a mediatriz de $\;[AB]\;$ intersetam-se num ponto do circuncírculo $\;E\;$ equidistante de $\;A,\;I,\; B.\;$ (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo $\;[IJO]\;$ é retângulo, logo $\;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)$
O triângulo $\;[EIJ]\;$ é retângulo, logo $\; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)$
Fazendo $\;(2) – (3)\;$
$\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow $
$\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow$
$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow $
$$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.$$
a continuar
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:
$\overline{IO}^2 = R(R -2r),\;$ em que $\;I\;$ é o centro da circunferência inscrita, $\;O\;$ é o centro da circunferência circunscrita, $\;R\;$ é o raio da circunferência circunscrita e $\;r\;$ é o raio da circunferência inscrita.
Observemos a seguinte figura:
Figura 1
$\;I\;$ incentro ; $\;O\;$ circuncentro; $\;CE\;$ bissetriz do ângulo $\;C\;$; $\;FE\;$ mediatriz de $\;[AB]; \;AI\;$ bissetriz do ângulo $\;\widehat{A}\;$, $\;IJ\;$ paralela a $\;AB\;$
Prova:
O triângulo $\;[AEF]\;$ é retângulo, logo
$$\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)$$
O triângulo $\;[AEI]\;$ é isósceles, $\;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\;$ a bissetriz do ângulo $\widehat{C}\,$ e a mediatriz de $\;[AB]\;$ intersetam-se num ponto do circuncírculo $\;E\;$ equidistante de $\;A,\;I,\; B.\;$ (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo $\;[IJO]\;$ é retângulo, logo $\;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)$
O triângulo $\;[EIJ]\;$ é retângulo, logo $\; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)$
Fazendo $\;(2) – (3)\;$
$\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow $
$\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow$
$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow $
$$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.$$
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