23.1.15

Espiral de Fermat



No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;Q\;$ existe um ângulo $\;\theta\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$):
  • : $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
  • e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
    $\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$
Cada ponto $\;R\;$ é obtido por rotação em torno de $\;A\;$ e ângulo $\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente $\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que $\;R\;$ é obtido como imagem de $\;Q\;$ por meia volta de centro em $\;A\;$

© geometrias: 20 janeiro 2015, Criado com GeoGebra


A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$$ e $$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $
Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

16.1.15

Espiral de Arquimedes



A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ de uma semi-reta $\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto $\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de $\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;P\;$ existe um ângulo $\;\alpha\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$):
  • : $\; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;$
  • e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;$
    $\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;$


© geometrias: 16 janeiro 2015, Criado com GeoGebra


A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $
Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

13.1.15

Curvas como lugares geométricos (memória)

curvas como lugares geométricos, ....
Em 2009, publicámos construções dinâmicas de curvas como lugares geométricas apresentadas nas vol IV das Obras sobre Mathemática de Francisco Gomes Teixeira, mais propriamente no Tomo I de "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" que existe na Biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão, em Aveiro. Foram elas, as seguintes:


Folium Parabólico [16/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/folium-parab.html
Conchóide de Sluse I [20/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse.html
Conchóide de Sluse II [30/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse-ii.html
Primeira cissóide [1/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/primeira-ciss.html
Segunda cissóide [4/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/segunda-ciss.html
Terceira cissóide [8/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/terceira-ciss.html
Quarta cissóide [9/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quarta-ciss.html
Quinta cissóide [11/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quita-ciss.html
Cissóide e sua inversa [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/cissoide-e-sua-inversa.html
Inversa da cissóide de Diócles [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/inversa-da-ciss-de-di.html
A cissóide de Diócles e a parábola [19/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss-de-diocles-e-par.html
Conchóide de Nicomedes [20/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/conch-de-nicomedes.html
Cissóides? [27/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss.html
Oval de Descartes [1/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/oval-de-descartes.html
As espíricas, as lemniscatas [4/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/as-esp-as-lemniscatas.html
Estrofóide? [7/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/estrof.html


Nas próximas entradas, retomamos (ou tentamos retomar) as construções de curvas como lugares geométricos, agora do tomo II do Tratado. Começamos com as espirais.

11.1.15

regressar ao futuro

GeoGebra Folha Gráfica Dinâmica

DEVAGAR DO PASSADO ATÉ AO FUTURO

© geometrias:10 janeiro 2015, Criado com GeoGebra