construção de rectângulo de perímetro 2p equivalente a quadrado de lado dado

Construção e texto de Mariana Sacchetti.

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

Partir de um círculo dado e determinar um concêntrico com o quinto da área ...

Texto de Mariana Sacc com uma explicação e resolução para problemas enunciados. A construção não encaixa no espaço e não permite grandes andanças a quem gostar de variações.... Iremos completando - promessa de maquinista!

dado o círculo (O, r), construir os seus concêntricos de áreas metade ou um terço da área de (O ,r)

Problema:
Sendo dado um círculo, traçar um círculo concentrico cuja área seja igual a metade (e a um terço) da área do círculo dado.

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A seguir, a construção de Mariana Sacchetti: E a demonstração de MS aqui fica:

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dividir um triângulo em iguais áreas por uma reta paralela a um lado

Problema:
Determinar a recta paralela a AC que divide o triângulo [ABC] em duas partes equivalentes.

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A seguir, a construção de Mariana Sacchetti: E a demonstração de MS aqui fica:

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

para cada um e para todos, alguns dos enunciados de problemas para que leitores continuem o trabalho...

...antes disso, sem mudar de assunto, lembramos que ainda há problemas por resolver

32. Construir um rectângulo de perímetro dado 2p, equivalente um quadrado de quadrado de lado a dado.
33. Inscriver num semicírculo de diâmetro 2r um rectângulo equivalente a um quadrado de lado a. De entre os rectângulos inscritos neste semicírculo, qual é o que tem área máxima e qual o que tem área mínima?
34. Construir um triângulo semelhante a um triângulo dado e equivalente a um dado polígono.
35. Construir um losango euqivalente a um rectângulo de dimensões a e b, conhecida a razão k entre as suas diagonais. (Por exemplo, pense nos casos seguintes: k=1, k=2, k=5/3)
36. Construir um círuclo equivalente à soma (ou à diferença) de dois circulos dados.
37. Sendo dado um círculo, traçar um círculo concentrico cuja área seja igual a metade (e a um terço) da área do círculo dado.
38. Recorrendo a círculos concêntricos, dividir um círculo em cinco partes equivalentes.
39. Dividir um círculo em três partes proporcionais aos números 2, 1 e 7 recorrendo a dois círculos concêntricos.
40. Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela paralela a um lado.
41. Recorrendo a paralelas a um dos lados de um dado triângulo, dividi-lo em três e em cinco partes equivalentes.
42. Dividir um triângulo em duas partes proporcionais aos números 4 e 5 por uma paralela a um lado.
43. Dividir um triângulo em três partes proporcionais aos números 2, 1 e 5 por rectas a passar por um mesmo vértice.
44. Dividir um triângulo em três partes proporcionais aos números 1, 2 e 3 por paralelas a um dos lados.
45. Dividir um paralelogramo em três partes proporcionais a três números dados 2, 1 e 1/2 por duas rectas tiradas por um mesmo vértice.
46. Dividir um quadrilátero ABCD em três partes proporcionais a três números dados 3, 1/2 e 2 por duas rectas vindas de A.
47. Divida um trapézio em duas partes equivalentes: 1º por uma paralela às bases;
2º por uma linha reta vinda de um dos vértices.
48. Divida um hexágono regular em três partes equivalentes por duas rectas provenientes de um mesmo vértice.

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Cercas de arcos iguais de que podemos determinar áreas das superfícies por elas cercadas.

Problema:
Num círculo de centro O e raio r tomamos um ponto A qualquer de (O,r) e determinamos os pontos B e C tais que AB=BC=CA ou seja vértices de triângulos equiláteros inscritos em (O,r) --> AO=BO=CO=r.
Na figura, cor vermelha, estão três arcos iguais de certas circunferências (de vértices A, B, C). E, do mesmo modo, cor roxa, estão três arcos iguais de certas circunferências.
Pedimos, a quem souber e lhe apetecer calcular...usando a figura, que determine as áreas das superfície limitadas (pelos arcos vermelhos e pelos arcos roxos).

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A seguir, uma construção de apoio: A Mariana Sacchetti perguntou com razão e acerto porque é que a minha figura era tão enfeitada. Ela fez a sua figura (e muito bem) para esclarecer as respostas calculadas das áreas pedidas em função de r. Aqui fica:

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Determinar a área de uma fatia entre duas cordas e um arco de um círculo dado.

Problema:
Sobre um arco AB de um círculo (O,r), tal que AÔB=90°, toma-se o ponto C tal que AÔC=60°. Propôe-se que calcule a área da área da superfície compreendida entre o arco BC e as cordas AB e AC. (em função de r)

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A seguir, uma construção de apoio:
Nova resposta/resolução de Mariana Sacchetti:

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Construção: Triângulo equilátero inscrito num circulo, Semicírculos de diâmetro igual ao lado do triângulo. Lúnulas .Áreas.

Problema:
Considere-se um triângulo inscrito num dado círculo. Sobre os três lados desse triângulo tomados como diâmetros, e exteriormente a eles, descrevem-se 3 semicículos. Pede-se que demonstre que a soma das áreas das três lunulas obtidas é igual à área do triângulo aumentado do oitavo da área do círculo dado.

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A seguir, uma construção de apoio:

Soluções de Mariana Sacchetti:

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Círculos. Tangência . Trapézio com lados sobre tangentes comuns aos círculos.

Problema:
Dados dois círculos de centros e raios diferentes $\;(O , r)\; e \; (O', r')\;$ no caso $\;r < r'\; \mbox{e} \;O ≠ O' \;$ tangentes em $\;P.\;$ Nas condições definidas esses círculos têm tangentes comuns exteriormente e há um trapézio em que dois dos seus lados são porções destas tangentes exteriores: $\;AD\;$ e $\; BC \; $
Pede-se que calcule, em função de $\;r\;$ e $\;r'$,

1. os comprimentos de $\;AD\;$ e $\;BC\;$
2. a área do trapézio $\;[ABCD]\;$

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A seguir, uma construção das tangentes comuns exteriormente aos círculos e, claro, ..... do trapézio: Pode deslocar $\;P\;$ para qualquer posição comum aos $\;(O\; ,\; r)\; e \; (O'\;,\; r')\;$
E a seguir, Mariana Sacchetti resolve

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Trapézio circunscrito a um dado círculo. Calcular perímetro e área.

Problema:
Calcular os lados e a área de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo de raio r, sabendo que um dos seus ângulos é 60°. (em função de r)

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A seguir, uma construção (ou ilustração): Pode deslocar $\;M\;$ para qualquer posição em $\;(O,r)\;$! Calcular?

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Mariana Sacchetti enviou duas respostas. Uma delas:

E a outra:

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Área de um trapézio de base diâmetro do semicírculo em que está inscrito.......

Problema:
Numa circunferência de raio r é inscrito um trapézio em que uma das bases é um diâmetro da circunferência e as suas diagonais fazem um ângulo de amplitude 45°.
Calcule a área do trapézio (em função de 2r=a) )

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Enunciado: [ABCD] é um trapézio tal que a sua base maior AB é o diâmetro do círculo em que está inscrito e a amplitude dos ângulos das suas diagonais é 45°
Qual é a sua área em função de a=AB?
A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 1de Novembro de 2021, Criado com GeoGebra Sobre o assunto, Mariana Sacchetti enviou o seguinte:

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Área do quadrado de bissectrizes de um dado rectângulo

Problema:
As bissectrizes dos ângulos de um rectângulo [ABCD]formam um quadrado.
Calcule a área do quadrado [EFGH] (em função das medidas dos comprimentos AB =a e BC=b)

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A seguir, uma construção (ou ilustração) que nos induz a uma razão entre as áreas do quadrado e do rectângulo:
@geometrias, 29 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Trabalhos de Mariana Sacchetti:

Clicando sobre essa figura da solução de M.S. tem acesso à folha no tamanho adequado.

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Triângulo rectângulo, quadrados, hexágono: e áreas

Problema:
Sobre os lados de um triângulo [ABC] rectângulo em Â, cujos lados do ângulo recto são b= (AC) e c=(AB), construímos, exteriormente ao nosso triângulo [ABC], os quadrados [ABNM], [BCQP], [ACRS].
Calcule a área do hexágono [MNPQRS] (em função de c e a)

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A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 28 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
E aqui fica a resolução de Mariana Sacchetti:

Interessante neste problema é verificar, tal como no problema anterior (em que o triângulo de partida é equilátero), que os triângulos da figura têm todos a mesma área.
Seja $\angle \alpha = A\hat{B}C \;$
Área de Δ $\;[ABC]\;$ = Área de Δ$\;[ASM]\;$ = $ \displaystyle \frac{b.c}{2} \; $
Área de Δ $\;[NBP]\;$= $\displaystyle\frac{a.c.sen(180° - \alpha)}{2} = $
$=\displaystyle\frac{a.c.sen(\alpha)}{2} = \displaystyle\frac{a.c.\displaystyle\frac{b}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Área de Δ $\;[CQR]\;$= $\displaystyle\frac{a.b.sen(90° + \alpha)}{2} = \displaystyle \frac{a.b.cos(\alpha)}{2} =\displaystyle\frac{a.b.\displaystyle\frac{c}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Assim, a área do hexágono [MNPQRS] é:
Área de $\;[MNPQRS] = 4 \times\frac{bc}{2} + a^2 +b^2 + c^2= 2bc+2a^2=2(bc+a^2)$ Como o enunciado pede, em função de c e a, aplicando o Teorema de Pitágoras
Área de $\;[MNPQRS] = 2(\sqrt{a^2-c^2} \times c + a^2)$

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Triângulo equilátero, quadrado, hexágono (9 pontos vértices): áreas

Problema:
Consideremos a construção em que

n=0 —	o triângulo equilátero $\;[ABC],$
n=1 —	os quadrados $\; [ADEB],\; [BFGC], \;[CGHA]\;$ e, finalmente,
n=2 —	o hexágono $\;[DEFGHI]$.

Sabendo que $\;AB=a,\;$ determinemos a área de $\;[DEFGHI]\;$ em função de $\;a\;$

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A seguir, uma construção para acompanhar o estudo (da Mariana? Aurélio?) que os (não?) levará à solução:
@geometrias, 25 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Já cá chegou a resposta da Mariana. É esta:

Também cá chegou a pergunta: "Porque escreves 12 pontos vértices?" e eu respondo "Não sei" porque só sei que lá deve estar 9 (contei-os, um a um). O maquinista agradece a correcção            para 9.

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Problema: Quadriláteros convexos; ângulo das diagonais e áreas.

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero convexo formam um ângulo de 30º, a área do quadrilátero é a quarta parte do produto das diagonais. O que acontece quando as diagonais formam ângulo de 60º ou de 45º?

A construção que apresentamos a seguir serve só para ver(ificar) a afirmação inicial.
A pergunta seguinte espera da Mariana e do Aurélio considerações, construções e respostas. :-)

@geometrias, 21 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Da Mariana Sacchetti veio resposta imediata (que verá melhor clicando sobre cada uma das páginas de Mariana):

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Problema: Quadrilátero de diagonais perpendiculares e quadrados sobre lados opostos

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero forem perpendiculares, demonstra-se que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre dois lados opostos é equivalente à soma dos quadrados construídos sobre os dois outros lados

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado e perguntas de leitores.

@geometrias, 19 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
Solução proposta por Mariana Sacchetti:

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2021.10.19 | Problema com triângulo equilátero e distância de pontos seus ou não

Problema:
Utilizando a medida das áreas, demonstra-se que a soma das distâncias de um ponto interior a um triângulo equilátero aos seus três lados é constante.
O que é preciso modificar no enunciado considerando que tomamos não um ponto interior mas antes uma localização exterior ao triângulo equilátero?

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado e perguntas de leitores.

@geometrias, 19 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

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Problema: Triângulo isósceles - medida das áreas e distâncias de pontos da base aos lados

Problema:
Utilizando a medida das áreas, demonstra-se que a soma das distâncias de um ponto $\;M\;$ qualquer da base de um triângulo isósceles aos lados iguais é constante.
E que acontece quando $\;M\;$ está sobre o prolongamento da base?

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado.

@geometrias, 18 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

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Problema: Triângulo rectângulo atento a um rectângulo que ocupa área igual

Problema:
Seja $\;D\;$ o ponto de contacto do círculo inscrito num triângulo rectângulo $\; Δ [ABC]\;$ com a hipotenusa $\;BC$.
Demonstra-se que o rectângulo cujos lados são $\;DB\;$ e $\;DC\;$ é equivalente ao triângulo $\; Δ [ABC]\;$

A construção que apresentamos a seguir serve para apoiar a conjectura .

@geometrias, 18 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
Resolução de Mariana Sacchetti

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Problema: Razão entre áreas de. dois triângulos medianamente relacionados

Problema:
Um triângulo tem por lados as medianas de um outro triângulo
Demonstra-se que a razão das suas áreas é $\; \frac{3}{4}$. .

A construção que apresentamos a seguir serve para apoiar a conjectura feita.

@geometrias, 17 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

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Problema: Triângulos. Áreas. Equivalência

Problema:
Por um ponto $\;D\;$ tomado sobre o lado $\;BC\;$ de um triângulo $\;Δ[ABC],\;$ tiram-se paralelas $\;DF\;$ e $\;DE\;$ aos lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ respetivamente.
Demonstra-se que os triângulos $\;Δ[CDE]\;$ e $\;Δ[BDF]\;$ são equivalentes.

E a figura dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura? Pode fazer variar os vértices do triângulo $\;Δ[ABC]\;$ e as posições de $\;D\;$......

@geometrias, 16 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

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Problema:Triângulo(s). Áreas. Meio Proporcional

Problema: Seja $\;H\;$ o ortocentro do triângulo $\;\Delta[ABC]:\;$ o círculo de diâmetro $\;BC\;$ corta $\;AH\;$ em $\;D\;$.
Demonstra-se que a área do triângulo $\;\Delta[BCD]\;$ é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos $\;\Delta [BCH]\;$ e $\;\Delta [BCA]\;$.

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A ilustração dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura.
Construções com Geogebra

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Notamos que:
a)       $\;x\;$ é o meio proporcional de $\;a \;\mbox{e}\; b\;$ se e só se $\;\frac{ a}{x}\;=\; \frac{x}{b}\;$
b)        Nas condições da figura, $\;BC\;$ é um lado dos três triângulos $\;\Delta[ABC],\; \Delta[CDB]\; e \; \Delta[BAC]\;$ ou seja é
             base comum desses três triângulos.
              E as alturas relativas a $\;BC\;$ dos três triângulos são segmentos da reta $\;HAH_aD.\;$ ....

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema resolvido?

Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio $\;r \;$ e centro $\;P\;$ e uma reta $\;l\;$, sendo $\;d \;$ a distância de $\;P \;$ a $\;l \;$ tal que $\;d \;>\; r \;$.
Se tomarmos $\;M \;$ e $\;N \;$ sobre $\;r \;$ de tal modo que a circunferência de diâmetro $\;MN \;$ seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto $\;A \;$ do plano para o qual todos os segmentos $\;MN \;$ subentendem um ângulo $\;\angle MÂN \;$ constante.

Tiramos um ponto $\;O(0,\;0) \;$, uma reta $\;Ox =l\;$ e uma $\; Oy \;$ (perpendicular a $\; Ox \;$ tirada por $\; O \;$), um ponto $\;P(O,\;d) \;$ de $\; Oy \;$ para centro de uma circunferência de raio $\; r \;$ sendo $\; d > r \;$.
Tomamos por $\; P \;$ uma reta que intersecta $\; Ox \;$ num ponto $\; C(h, 0) \;$ que é centro da circunferência tangente à circunferência $\;(P,\;r) \;$, como na figura se ilustra.


@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro $\; C\;$ de uma circunferência tangente exterior à dada $\;(P,r) \;$ deve ter um raio $\; s \;$ tal que $\; PC =(r+s)\;$ é hipotenusa do triângulo $\;\Delta [OCP]\;$ rectângulo em $\; O \;$ e, pelo Teorema de Pitágoras, $$\; d^2 + h^2 = (r+s)^2$$
Aos extremos do diâmetro da circunferência $\;(C, s)\;$ cortada por $\;Ox\;$ na nossa construção, chamamos $\; M=(h-s, 0)\;$ e $\;\;N=(h+s,0)\;$.
Aceitemos que existe um ponto de $\;Oy, \;\;A(0,\;k), k>0\;$ que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos $\; \angle MAN \;$ se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por $\;O \;$ uma reta tangente à circunferência $\;(P,r),\;$ ficamos com um triângulo $\;\Delta[OTP]\;$, retângulo em $\;T\;$, para além do triângulo $\;\Delta[COP]\;$ rectângulo em $\;O\;$.
A circunferência $\;(O,\;T)\;$ corta $\;Oy\;$ num ponto que designamos por $\; A \;$ e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude $\; \angle MÂN \;$ em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas $\;P, \;C\;$ perpendiculares a tangentes da circunferência $\;(P,\;r)\;$....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência $\; (A,\; O)\;$ e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a $\;(P,\;r).\;$
Não dependem dos raios $\;s\;$ e deslocando o ponto $\; C\;$ podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de $\;(A,O).\;$ $\hspace{0.5 cm}\square$

conjectura ou tentação de palpite

Um dia destes de arrumações que não me levam longe, folheei um Calendário Matemático de 1997, - CENAMEC, Centro Nacional para el mejoramiento de la enseñanza de la ciencia (Fundacion Polar), Venezuela - e as folhas do mês de Julho de 1997 ficaram abertas como tentação e obrigação de fazer uma construção dinâmica ligada a um "Un Problema Retador"- Problema Desafiante apresentado por "Andrés Moya Romero".

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a)     Observe a construção dinâmica que aqui lhe deixamos.
b)     Fixe-se em dois pontos:  A, que pode mover-se no eixo Oy,
                                           e    T, que pode mover-se na circunferência de centro P.
c)     Repare na amplitude do ângulo MÂN que toma valores diferentes ao deslocar
       A ou T cada um no seu mundo.
d)     Procure uma posição de A para a qual pode deslocar o ponto T e com ele as posições de M e N
        sem alterar a amplitude de MÂN .

Escreva-nos. Estamos a precisar de receber apoios (ou abandonar o feito e o seu feitio inicial).

experiência com cinderella seguida de experiência com GeoGebra sem qualquer interesse digo eu.

Uma prenda para António Aurélio Fernandes que vai ter pontos para deslocar... e animar-se....
Se duas circunferências de centros O₁ e O₂ se intersetam em dois pontos C e D e cada uma delas é ortogonal a uma terceira de centro O, então os pontos C e D são inversos relativamente a essa terceira circunferência de centro O

Pode movimentar pontos da figura dinâmica.

A tentativa de restauração de uma entrada de 2013:     Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência     devolveu a este triste restaurador alguma esperança na Cinderella reencontrada como prenda, um amor antigo que volta. Veremos o que aprendemos com este regresso.
Sei lá. Fico à espera.....
Ora era, já era.

Fiquei à espera. Até me fartar de ver nada. Se passei muito tempo a tentar ver nada, outro tanto passei a conseguir fazer uma construção com cálculos em notas ... de forma que sejam calculados dinamicamente, isto é, variam quando faz variar pontos na construção.

A, B, C, D -> AB e CD. Usando só circunferências e pontos, determinar a posição do ponto comum a AB e CD.

Voltamos a dar algum relevo a um problema (que usa compassos ou circunferências - (centro, raio); (centro, ponto), (ponto, ponto, ponto) - e inversões) que pudemos restaurar a partir de uma entrada de 20 de Junho de 2013. Aqui fica problema deste tempo recorrendo ao geogebra.
Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustram-se a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinar a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

Dada uma reta a, e 4 pontos dela A, A', B, B' , como determinar nela um quinto ponto M tal que AM / BM = AM' / BM'

Estamos a restaurar mal, que os tempos são outros, a solução de um exercício interactivo proposto em 21 de Maio de 2013 que foram "deprecated" até retorcido se ver o texto e nada se ver da construção. Por não termos culpa, não pedimos desculpa.

Segmento de reta perpendicular a lado de triângulo para o dividir em dois polígonos equivalentes

Restaurámos uma construção agora com recurso a GeoGebra para substituir uma outra que foi inicialmente publicada em 25 de Junho de 2006 Dividir um triângulo em 2 para funcionar como exercício interactivo recorrendo à aplicação Zul - zirkel und lineal (Cal - compasso e régua) de R. Grothmann. Já não se via há anos e agora já não é o que era, claro, por razões que a nossa razão desconhece.... e entristece. Vamos respondendo a empurrões teimosos de A.A.F. (e outros) que ficarão desiludidos por não serem as (deprecated) originais...

Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Vamos.



[A.A.M]
Como determinámos [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes:

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1. Tomámos um triângulo de vértices A, B, C e lados a=BC, b=CA e c=AB. Considerámos também um ponto U e por ele, uma reta r paralela a c. Pode mover o ponto U e com ele a reta r.
2. Considerado o ponto M médio de AB, tomámos a circunferência de centro U e raio AM ou MB e o ponto P um dos pontos comuns a r e (U, MB).
3. E o ponto Q de r: PQ=BH_c, sendo H_c o pé da perpendicular a AB tirada por C:
   CH_c é uma altura do triângulo [ABC] sendo a área deste metade de AB*CH_c.
   Q é um dos dois pontos comuns a r e à circunferência (P, BH_c)
   
4. A circunferência de diâmetro QU tem centro R: RU=UQ.
   E é intersectada em S pela perpendicular a (r ou a ) AB tirada por P.
5. A circunferência de centro B e raio PS intersecta BA em D, ou seja BD=PS e a perpendicular a AB tirada por D intersecta BC em E que, os calculados BD*DE e da figura DBE nos leva a pensar (conjecturar) que é esta DE (assim determinada) quem divide ABC em dois polígonos [ADEC] e [DBE] equivalentes.
6. ?

A circunferência é uma cónica?

A construção dinâmica que a seguir pode ver foi feita, usando Geogebra, para substituir uma outra feita com Cinderella para uma publicação de 1.12.2012 (dia de restauração), a um click em: A circunferência é uma cónica :-) em espera.
------ construção dinâmica com Geogebra ------

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Razão cruzada de um feixe de quatro retas

4 retas que passam por um dado ponto gozam de uma propriedade "simples" que pode deslumbrar quem estuda geometria (projetiva, no caso). Aqui fica uma ligação à publicação de Agosto de 2012 que recorria à aplicação - Compasso e Régua (Zirkel und Linea; R. Grothmann)-, restaurada hoje com recurso a Geogebra....
Para cada feixe de retas, há uma razão (a cruzada razão) que se mantém invariante, isto é, não depende da reta que corta o feixe.... A figura permite-nos considerar isso mesmo por simples manipulação de E e F que nos deixam ver as diversas posições da reta r, o que é variável e o que se matém invariante.
[A.A.M.]

Teorema 119 FG-M

Enunciado do TEOREMA 119 FG-M:
São dadas duas circunferências tangentes interiormente num ponto A: a exterior de centro N, a interior de centro M. Seja AE a reta tangente às circunferências em A e seja BE a tangente à circunferência interior em C.
Demonstre que a reta AC é bissetriz do ângulo ∠BÂD.

[A.A.F.]
Demonstração:
Os segmentos AE e CE são iguais, logo ∠EAC = ∠ECA. Da geometria elementar sabe-se que: ∠EAC = (arc AD + arc DF) / 2 e ∠ECA = (arc AD + arc BF)/2 Logo arc DF = arc BF, ou seja, ∠DAC = ∠CAB;
de onde se conclui que AC é a bissetriz do ∠BAD.

A relação da distância entre circuncentro e incentro de um triângulo dado com os circunraio e inraio.....

[A.A.F.] A figura dinâmica permite conjecturar que para quaisquer A, B ou C ou para qualquer triângulo ΔABC se mantém a relação estabelecida IO² = R²-2rR Desloque A, B ou C...... para conjecturar.
Não deixe de tentar demonstrar... ▀

Dobras de um canto com uma dada área.

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Imagine que o primeiro quadrante do plano Oxy é um folha de papel gigante. Fixe uma constante k e imagine que o canto em (0,0) é dobrado para um ponto P da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área k. Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como P.

► Clique no botão a que chamámos "auxiliares"

Chamamos Q e R aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva O para P. E designamos por S o ponto de interseção de OP com RQ. Como os ângulos em O e em P são iguais e retos, RQ é o diâmetro da circunferência que passa por Q,P,R,O.
P obtém-se como imagem de O por uma meia volta em torno de QR, ou dito de outro modo, para cada Q e cada R, há um P imagem O por simetria de eixo QR. OQ = QP, OS = SP, OR = RP.





© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra


A área do triângulo PQR é dada por QR ╳ OP / 2 ou por QP ╳ PR / 2.
Designemos por (x, y) as coordenadas cartesianas de P: x=OQ,  y=OR   e por (ρ,   θ)   as coordenadas polares de P:    ρ = OP =2 ∙ SP,   θ =∠ QÔP.
No caso da nossa construção, atribuímos o valor 3 a k e a condição do problema que P deve satisfazer é, pelo que vimos, x ∙ y = 6.
Como OS ⊥ QR , do triângulo Δ OSQ, retângulo em S, tiramos OS / OQ = cos(θ) ou ρ / 2 = x.cos(θ).
Também o triângulo [RSO] é retângulo em S e RÔS = π / 2 - θ e ρ / 2=y.cos(π / 2 - θ) ou ρ / 2 = y.sen(θ) .
De ρ = 2x.cos(θ) e ρ=2.sen(θ) podemos concluir que ρ² = 4xy.sen(θ). cos(θ) ou, por ser 2. sen(θ).cos(θ) = sen(2θ), e xy = 2k (no nosso caso 6), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos P(ρ , θ) tais que os triângulos (QPR) de dobragem têm área k constante satisfazem a seguinte equação
ρ ² = 4k. sen(2 θ) que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 restrições consideradas no enunciado do problema.)

Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar Q para ver o ponto P descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que, considerado que P(x, y): xy=2k e deixando livre Q(x, 0) o pontoR (0, y) é dele dependente: y= 2k / x◾.

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. Don't Cut Corners — Fold them
Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.

de uma colinearidade a outra e etc.

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Consideremos três pontos colineares A, B, C incidentes na reta r (podem tomar diversas posições) e dois semicírculos: um - c - de diâmetro AB e outro - d - de diâmetro AC ambos num dos dois semiplanos determinados por r.
Seja D o ponto médio do segmento BC: BD=DC; e, tiradas por D,

• a perpendicular a r - p - que intersecta d em E,
• e a tangente a c - t - sendo F o ponto de tangência.

Finalmente, considerámos a reta i determinada por A e F. A nossa figura leva-nos a conjecturar que

1. os segmentos DF da tangente t e DE da perpendicular a r são geometricamente iguais
2. o ponto E incide na recta i=AF, ou seja, A, E e F são colineares.

Pode demonstrar.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 136, ...

um ângulo e um lugar geométrico

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O problema de procurar um certo lugar geométrico :
Dado foi um ângulo xOy. Disseram-nos para deixarmos à solta no lado Ox um ponto P e que um outro ponto devia ser tal que PO+ON fosse Konstante:-). Assim fizemos.
Mais tarde perguntaram-nos por onde andaria o ponto M médio entre P e N quando P passeasse por onde pudesse (pelo lado Ox).

Para a nossa construção, que apresentamos a seguir, considerámos a constante 10 (= NO + OP, sendo NO = 10- OP e N na intersecção da circunferência de centro O e raio 10-OP).

Pode deslocar o ponto P em Ox e acompanhar o comportamento dos restantes pontos que dependem da posição de P: N e M. Confirmará (ou poderá conjecturar) que o ponto M tomará posições em linha recta e deixando um rasto. O lugar geométrico reduz-se a um segmento de recta que talvez lhe interesse algebricamente...(pode também clicar no botão de animação de M na janela de visualização que se encontra ao fundo esquerdo. Como quiser.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 132, ...

Com a intersecçao de dois lugares geométricos, resolve-se.....

... com N(orte)

Problema de construção:
Consideremos um ângulo xOy de lados Ox e Oy e um ponto A de Oy. E determinemos um ponto M do segmento OA tal que o pé P da perpendicular a Ox tirada por M esteja a uma distância de O igual à distância de M a A, isto é AM = PO.

Os passos da construção feita podem ser vistas seguindo a ordem da sucessão de valores no cursor

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (na figura dinâmica que se segue).

n=0:    Dado ângulo xOy
n=1:     O ponto A de Oy dado.


n=2:     Apresenta-se uma perpendicular a Ox tirada por A
n=3:     e, de seguida, a bissectriz do ângulo xOy que, intersectada com a perpendicular a Ox, nos dá um ponto N e, a passar por ele, uma paralela a Oy.
n=4:     que intersectada com Ox nos dá P e
n=5:     e por ele tirar a perpendicular a Ox cuja intersecção com Oy nos dá o ponto M de OA que perseguiamos e nos apareceu como vértice de um paralelogramo PNAM e nos obriga a pensar em lados paralelos entre paralelas: NA=MP e PN=MA.
n=6:    Para verificarmos a bondade desta construção, basta tirarmos por N a paralela a Ox que intersecta OY em Q que o quarto vértice de um losango OPNQ que tem como diagonal ON que confirma N como bem determinado sobre a bissectriz.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 131, ...

o mesmo do mesmo

Problema de construção restaurado de 2005

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Dados um rectângulo [ABCD], definido por dois segmentos de recta - a e b - e uma circunferência de centro O, pede-se a construção de um rectângulo inscrito na circunferência que seja semelhante ao dado.

[M.S.]&[A.A.F.]
Notas de resolução:
1- Com centro em O desenhei circunferências de raios a e b que me permitiu desenhar o rectângulo [GPQR] que é semelhante ao dado de razão 2
2- Desenhei as suas diagonais (todos os rectângulos com vértices nas diagonais são semelhantes ao dado, ou não? não estou a fazer homotetias?)
3- Os pontos de intersecção das diagonais com a circunferência são os vértices do rectângulo inscrito e semelhante ao dado.

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Ver: 28.9.05: Básico - Pequeno desafio.

de alguns dados até um triângulo isósceles ....

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Problema:
Construir um triângulo [ABC], isósceles - |AB|=|AC| - de que se conhece o ângulo BÂC e a soma dos comprimentos da base |BC| e da altura relativa a [BC] (tirada por A).

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São dados:

• - o segmento s cujo comprimento é a soma da base com a altura (pode fazer variar o comprimento de s)
• - o ângulo de vértice A com lados c₁ e c₂.

[A.A.F]
• Tracemos a bissetriz do ângulo de vértice em A e, sobre ela, o segmento AE de comprimento igual ao de s.
• Por E tracemos uma paralela a c₂ e por A uma perpendicular a AE. O segmento AF tem comprimento igual ao da base BC do triângulo. Logo a interseção de AF com c₁ é o vértice B. (Note que AFBC é um paralelogramo).

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Este problema foi abordado numa entrada de 10/10/2005 e agora reencontrado e restaurado.

cada um de 4 pontos dados quer estar numa reta que contenha um lado só seu de um quadrado dos 4.

Determinar um quadrado do qual cada uma das retas dos seus lados passa por um de 4 pontos dados.

Nota: Pode deslocar as posições de A,B,C,D ▀

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1. George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
2. Kirk T. McDonald (Princeton University) and G. Owen Schaefer (Princeton High School): To Construct a Square with Edges on Any Four Points, (2001 - 2014)