Triângulo rectângulo

A 13.04.06,
em Geometrias
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

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Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:
$\overline{IO}^2 = R(R -2r),\;$ em que $\;I\;$ é o centro da circunferência inscrita, $\;O\;$ é o centro da circunferência circunscrita, $\;R\;$ é o raio da circunferência circunscrita e $\;r\;$ é o raio da circunferência inscrita. Podemos assim dizer, de outra forma, que a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita é a média geométrica entre $\;R\;$ e $\;R-2r,\;$ sendo $\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e $\;R\;$ o raio da circunferência circunscrita.
Observemos a seguinte figura:

Figura 1
$\;I\;$ incentro ; $\;O\;$ circuncentro; $\;CE\;$ bissetriz do ângulo $\;C\;$; $\;FE\;$ mediatriz de $\;[AB]; \;AI\;$ bissetriz do ângulo $\;\widehat{A}\;$, $\;IJ\;$ paralela a $\;AB\;$
Prova:
O triângulo $\;[AEF]\;$ é retângulo, logo
$$\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)$$
O triângulo $\;[AEI]\;$ é isósceles, $\;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\;$ a bissetriz do ângulo $\widehat{C}\,$ e a mediatriz de $\;[AB]\;$ intersetam-se num ponto do circuncírculo $\;E\;$ equidistante de $\;A,\;I,\; B.\;$ (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo $\;[IJO]\;$ é retângulo, logo $\;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)$
O triângulo $\;[EIJ]\;$ é retângulo, logo $\; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)$
Fazendo $\;(2) – (3)\;$
$\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow$
$\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow$
$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow$
$$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.$$


a continuar