28.11.21

para cada um e para todos, alguns dos enunciados de problemas para que leitores continuem o trabalho...

...antes disso, sem mudar de assunto, lembramos que ainda há problemas por resolver

32. Construir um rectângulo de perímetro dado 2p, equivalente um quadrado de quadrado de lado a dado.
33. Inscriver num semicírculo de diâmetro 2r um rectângulo equivalente a um quadrado de lado a. De entre os rectângulos inscritos neste semicírculo, qual é o que tem área máxima e qual o que tem área mínima?
34. Construir um triângulo semelhante a um triângulo dado e equivalente a um dado polígono.
35. Construir um losango euqivalente a um rectângulo de dimensões a e b, conhecida a razão k entre as suas diagonais. (Por exemplo, pense nos casos seguintes: k=1, k=2, k=5/3)
36. Construir um círuclo equivalente à soma (ou à diferença) de dois circulos dados.
37. Sendo dado um círculo, traçar um círculo concentrico cuja área seja igual a metade (e a um terço) da área do círculo dado.
38. Recorrendo a círculos concêntricos, dividir um círculo em cinco partes equivalentes.
39. Dividir um círculo em três partes proporcionais aos números 2, 1 e 7 recorrendo a dois círculos concêntricos.
40. Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela paralela a um lado.
41. Recorrendo a paralelas a um dos lados de um dado triângulo, dividi-lo em três e em cinco partes equivalentes.
42. Dividir um triângulo em duas partes proporcionais aos números 4 e 5 por uma paralela a um lado.
43. Dividir um triângulo em três partes proporcionais aos números 2, 1 e 5 por rectas a passar por um mesmo vértice.
44. Dividir um triângulo em três partes proporcionais aos números 1, 2 e 3 por paralelas a um dos lados.
45. Dividir um paralelogramo em três partes proporcionais a três números dados 2, 1 e 1/2 por duas rectas tiradas por um mesmo vértice.
46. Dividir um quadrilátero ABCD em três partes proporcionais a três números dados 3, 1/2 e 2 por duas rectas vindas de A.
47. Divida um trapézio em duas partes equivalentes: 1º por uma paralela às bases;
2º por uma linha reta vinda de um dos vértices.
48. Divida um hexágono regular em três partes equivalentes por duas rectas provenientes de um mesmo vértice.

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

17.11.21

Cercas de arcos iguais de que podemos determinar áreas das superfícies por elas cercadas.

Problema:
Num círculo de centro O e raio r tomamos um ponto A qualquer de (O,r) e determinamos os pontos B e C tais que AB=BC=CA ou seja vértices de triângulos equiláteros inscritos em (O,r) --> AO=BO=CO=r.
Na figura, cor vermelha, estão três arcos iguais de certas circunferências (de vértices A, B, C). E, do mesmo modo, cor roxa, estão três arcos iguais de certas circunferências.
Pedimos, a quem souber e lhe apetecer calcular...usando a figura, que determine as áreas das superfície limitadas (pelos arcos vermelhos e pelos arcos roxos).
A seguir, uma construção de apoio:
A Mariana Sacchetti perguntou com razão e acerto porque é que a minha figura era tão enfeitada. Ela fez a sua figura (e muito bem) para esclarecer as respostas calculadas das áreas pedidas em função de r. Aqui fica:



Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

13.11.21

Determinar a área de uma fatia entre duas cordas e um arco de um círculo dado.

Problema:
Sobre um arco AB de um círculo (O,r), tal que AÔB=90°, toma-se o ponto C tal que AÔC=60°. Propôe-se que calcule a área da área da superfície compreendida entre o arco BC e as cordas AB e AC. (em função de r)
A seguir, uma construção de apoio:

Nova resposta/resolução de Mariana Sacchetti:


Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

12.11.21

Construção: Triângulo equilátero inscrito num circulo, Semicírculos de diâmetro igual ao lado do triângulo. Lúnulas .Áreas.

Problema:
Considere-se um triângulo inscrito num dado círculo. Sobre os três lados desse triângulo tomados como diâmetros, e exteriormente a eles, descrevem-se 3 semicículos. Pede-se que demonstre que a soma das áreas das três lunulas obtidas é igual à área do triângulo aumentado do oitavo da área do círculo dado.
A seguir, uma construção de apoio:


Soluções de Mariana Sacchetti:


Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

4.11.21

Círculos. Tangência . Trapézio com lados sobre tangentes comuns aos círculos.

Problema:
Dados dois círculos de centros e raios diferentes $\;(O , r)\; e \; (O', r')\;$ no caso $\;r < r'\; \mbox{e} \;O ≠ O' \;$ tangentes em $\;P.\;$ Nas condições definidas esses círculos têm tangentes comuns exteriormente e há um trapézio em que dois dos seus lados são porções destas tangentes exteriores: $\;AD\;$ e $\; BC \; $
Pede-se que calcule, em função de $\;r\;$ e $\;r'$,
  1. os comprimentos de $\;AD\;$ e $\;BC\;$
  2. a área do trapézio $\;[ABCD]\;$


A seguir, uma construção das tangentes comuns exteriormente aos círculos e, claro, ..... do trapézio:
Pode deslocar $\;P\;$ para qualquer posição comum aos $\;(O\; ,\; r)\; e \; (O'\;,\; r')\;$
E a seguir, Mariana Sacchetti resolve


Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

2.11.21

Trapézio circunscrito a um dado círculo. Calcular perímetro e área.

Problema:
Calcular os lados e a área de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo de raio r, sabendo que um dos seus ângulos é 60°. (em função de r)

A seguir, uma construção (ou ilustração):
Pode deslocar $\;M\;$ para qualquer posição em $\;(O,r)\;$! Calcular?
Mariana Sacchetti enviou duas respostas. Uma delas:

E a outra:

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique; Librairie Delagrave. Paris:1964

1.11.21

Área de um trapézio de base diâmetro do semicírculo em que está inscrito.......

Problema:
Numa circunferência de raio r é inscrito um trapézio em que uma das bases é um diâmetro da circunferência e as suas diagonais fazem um ângulo de amplitude 45°.
Calcule a área do trapézio (em função de 2r=a) )

Enunciado: [ABCD] é um trapézio tal que a sua base maior AB é o diâmetro do círculo em que está inscrito e a amplitude dos ângulos das suas diagonais é 45°
Qual é a sua área em função de a=AB?
A seguir, uma construção (ou ilustração):

@geometrias, 1de Novembro de 2021, Criado com GeoGebra
Sobre o assunto, Mariana Sacchetti enviou o seguinte:

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964