MS : Problemas de Apolonio (continuadas - 4)

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(4) Círculo tangente a duas retas e um ponto (LLP)
iniciativa de Mariana Sacchetti:

4.1. As duas retas são paralelas

4.1.1. As duas retas são paralelas e o ponto está fora da faixa entre elas

Esta situação não tem solução

4.1.2. As duas retas são paralelas e o ponto pertence a uma delas

Esta situação tem uma única solução Basta traçar a perpendicular às retas a passar por P que interseta a outra reta no ponto D. O segmento de reta [PD] é o diâmetro do círculo pretendido

4.1.3. As duas retas são paralelas e o ponto está entre elas


Esta situação tem duas soluções Os centros dos círculos pretendidos situam-se na linha média entre as paralelas e têm raio igual a metade da distância entre elas


4.1. As duas retas são secantes

4.1.1. As duas retas são secantes e o ponto não pertence a nenhuma delas


Esta situação tem duas soluções
Sabemos que os centros dos círculos pretendidos se situam na bissetriz do ângulo. Traçamos um círculo auxiliar (O, OF) tangente às duas retas e com centro na bissetriz. Consideremos as homotetias com centro em A deste círculo auxiliar. Traçando a reta AP esta corta o círculo auxiliar nos pontos F e G. Por P tracemos paralelas a OF e a OG. Estas determinam os centros O1 e O2 das soluções pretendidas consoante consideramos P homotético de F ou P homotético de G.

4.1.2. As duas retas são secantes e o ponto pertence a uma delas


Esta situação tem 2 soluções.
Basta traçar as bissetrizes e uma reta perpendicular a AP no ponto P. Esta reta determina nas bissetrizes os centros dos círculos pretendidos.


4.1.3. As duas retas são secantes e o ponto pertence a ambas

Esta situação não tem solução