Na entrada anterior, resolvemos o problema repetindo a construção (I.44) tantas vezes quantos os triângulos em que dividamos o polígono dado.
No caso da nossa ilustração abaixo, temos um polígono
\;[ABCDEFG]\; e tomamos o segmento
\;JK\; para lado do paralelogramo equivalente a
\;[ABCDEFG]\; a construir. Em vez de tomarmos uma decomposição do polígono em triângulos e para cada um desses triângulos construir o paralelogramo equivalente, vamos previamente proceder à construção de um triângulo equivalente ao polígono
\;[ABCDEFG]\; e só depois construir o paralelogramo equivalente a esse triângulo.
©geometrias, 29 abril 2016, Criado com GeoGebra
Fazendo variar os valores de \;\fbox{n}\; no cursor do fundo à direita, pode seguir os passos da resolução.
O processo de construção de um triângulo equivalente ao polígono
\;[ABCDEFG]\; é feito de repetições da determinação de um triângulo equivalente a um quadrilátero. Assim:
\fbox{1,2}\;\;
Escolhemos para começar o quadrilátero
\;[ABCD]\; e a sua diagonal
\;AC.\; Determinamos o ponto
\;P\; de intersecção de
\;CD\;com a reta paralela a
\;AC\; tirada por
\;B.\; Os triângulos
\;[APC]\; e
\;[ABC]\; são iguais em área por terem uma base comum
\;AC\; e os terceiros vértices
\;B,\;P\; sobre
\;BP\; paralela a
\; AC\; comum.
Como
\;\mbox{Área}_{[ABCD]} = \mbox{Área}_{[ABC]} + \mbox{Área}_{[ACD]},\; \;\mbox{Área}_{[APD]}=\mbox{Área}_{[APC]} + \mbox{Área}_{[ACD]},\; podemos dizer que
\;\mbox{Área}_{[ABCD]}= \mbox{Área}_{[APD]},\; já que, como vimos,
\; \mbox{Área}_{[ABC]} = \mbox{Área}_{[APC]}.\;
\fbox{3,4}\;\;
Tomamos de seguida
\;[APDE]\; e a diagonal
\;AD\; e determinamos
\;Q\; na intersecção de
\;DE\; com a paralela a
\;AD\; tirada por
\;P.\; E, como o anteriormente visto em procedimento análogo, são equivalentes os triângulos
\;[APD]\; e
\;[AQD].\;
E, em consequência,
\; \mbox{Área}_{[APDE]} = \mbox{Área}_{[AQE]}, \; já que
\; \mbox{Área}_{[APDE]} =\mbox{Área}_{[APD]}+\mbox{Área}_{[ADE]} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mbox{Área}_{[AQD]}+\mbox{Área}_{[ADE]}\;
\fbox{5,6}\;\;
Com o mesmo raciocínio se toma agora
\;[AQEF],\;, a sua diagonal
\;AE\; e determinamos o ponto
\;R\; de intersecção da reta
\;EF\; com a paralela a
\;AE\; tirada por
\;Q.\;
E, como
\;\mbox{Área}_{[AQE]} = \mbox{Área}_{[ARF]}, \; \;\; \mbox{Área}_{[AQEF]} = \mbox{Área}_ {[ARF]}\;.
\fbox{7}\;\;
Finalmente, para o nosso caso, consideremos o quadrilátero
\;[ARFG],\; a sua diagonal
\;AF\; e determinamos o ponto
\;S\; na intersecção de
\;EF\; com a paralela a
\;AF\; tirada por
\;G.\; (Podíamos ter optado por um ponto
\;S\; na intersecção de
\;GF\; com a paralela a
\;AF\; tirada por
\;R).\;
E, como
\; \mbox{Área}_{AFS}=\mbox{Área}_{AFG}, \; \mbox{Área}_{ARFG}= \mbox{Área}_{ARF}+\mbox{Área}_{FGA} =\mbox{Área}_{ARF}+ \mbox{Área}_{FSA} = \mbox{Área} {ARS}.\; «
Finalmente podemos concluir que
\;\mbox{Área}_{[ABCDFG]} = \mbox{Área}_{[ARS]}\;
De facto, os passos da construção acompanham
\displaystyle \mbox{Área}_{[ABCDEFG]} = \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\underbrace{\mbox{Área}_{[ABC]}+ \mbox{Área}_{[ACD]}}+ \mbox{Área}_{[ADE]} + \mbox{Área}_{[AEF]}+ \mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\mbox{Área}_{[ABCD]} \;\;\;\;\;\;\;+ \mbox{Área}_{[ADE]} + \mbox{Área}_{[AEF]}+ \mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\underbrace{\mbox{Área}_{[APD]}\;\;\;\;\;\;\;\;+ \mbox{Área}_{[ADE]}} \;\;\;+ \mbox{Área}_{[AEF]}+ \mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{Área}_{[APDE]}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ \mbox{Área}_{[AEF]}+ \mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \underbrace{\mbox{Área}_{[AQE]}\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;+\mbox{Área}_{[AEF]}} \;\;+ \;\;\mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{Área}_{[AQEF]} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;+\mbox{Área}_{[AFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underbrace{\mbox{Área}_{[ARF]} \,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;+ \mbox{Área}_{[AFG]}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{Área}_{[ARFG]}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{Área}_{[ARS]}
\fbox{8, 9,10}\;\;
E bastar-nos-á determinar o paralelogramo equivalente a um triângulo
\;[ARS], \; no caso,
\;[A'MIS']\; ou
\;[KJVU]\;, …
Nota:
A sequência de procedimentos aqui usados para determinar um triângulo equivalente a um heptágono (no caso aqui ilustrado) serve bem para problemas com polígonos de qualquer número de lados.
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martins. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
