Para a figura que se segue, começámos por apresentar um hexágono regular de vértices \;A, \;B, \;C, \;D, \;E,\;F\; sendo \;\overline{AB}=1.\; Em seguida, tomámos o retângulo \;P, \;Q,\; R, \;S.
Queremos só que determine a área deste retângulo.
O problema fica resolvido se tomarmos as três diagonais \;\overline{AD}, \; \overline{BE}; e \;\overline{CF}\; do hexágono que o dividem em seis trângulos equiláteros (de lado 1)
Dos lados do retângulo, vemos que
\overline{PQ} = \overline{RS} = 2 = \overline{CF}\; e
\overline{PS} = \overline{PF}+\overline{FS} = \overline{AE} = \overline{BD} = \overline{QC}+\overline{CR} = \overline{QR}\;
que são somas das alturas de dois triângulos \;\Delta [FAF']\; e \;\Delta [F'EF]\; congruentes,
e tais que as suas alturas iguais e iguais a \;\overline{PF}=\overline{FS}=\overline{QC}=\overline{CR}\; que podem ser calculados imediatamente já que \;\overline{AP}=\frac{1}{2}\; e, em conseguência, \;\overline{AF}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{PF}^2\; e \;\overline{PF}^2 = 1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.\;
Concluindo: \;\overline{PF}=\;\overline{FS}\;=\;\overline{QC}=\;\overline{CR}= \frac{\sqrt{3}}{2}.\;
O outro lado \;\overline{PS}\; (=\;\overline{QR})\; do retângulo mede \;\sqrt{3}\; e a área do retângulo mede-se por \;2\sqrt{3}.\;
