Propriedade fundamental dos arbelos
A área do arbelos é igual á área do círculo de diâmetro [CD]
Raios das semicircunferências interiores: 𝑎, 𝑏
Raio da semicircunferência exterior: 𝑎 + 𝑏
𝐶𝐷 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 2𝑎 𝑒 𝑑𝑒 2𝑏) = 2√𝑎𝑏
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋√𝑎𝑏2 = 𝜋𝑎𝑏
Problema:
Inscrever no arbelos um círculo tangente aos outros três.
Construção:
Sejam E e F os centros das circunferências interiores. GE e HF perpendiculares a AB.
Os segmentos de reta GF e EH intersetam-se em I. Desenhe-se a circunferência de centro I e raio IC. Esta determina nas circunferências interiores os pontos de tangência M e J da circunferência pretendida.
As retas EJ e FM determinam o centro N da circunferência tangente aos três círculos.
Círculos gémeos de Arquimedes num Arbelos
A perpendicular a AB tirada por C, divide o arbelos em dois triângulos curvilíneos com incírculos congruentes. A estes círculos chamam-se círculos gémeos de Arquimedes, pois o seu raio, prova-se que é
𝑅= 𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏)
2𝑅 = 2𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏)
𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 h𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑒 𝑏)
Construção:
Sejam E e F os centros das circunferências interiores. GE e HF perpendiculares a AB.
Os segmentos de reta GF e EH intersetam-se em I. Desenhe-se a circunferência de centro C e raio IC. Esta interseta AB nos pontos J e K
Desenhem-se as circunferências (E, EK) e (F, FJ).
Desenhem-se as retas perpendiculares a AB em J e K. Estas intersetam as circunferências (E, EK) e (F, FJ) nos centros das circunferências pretendidas M e O.
Os segmentos de reta EM e FO determinam os pontos de tangência P e Q.
Os círculos gémeos de Arquimedes são os círculos (M, MP) e (O, OQ).
Demonstração de que o círculo (I, IC) é um círculo de Arquimedes
Logo, 𝑂𝐼 / CF = (𝑎−𝐼𝐶) / IC e como OI=EC, vem 𝐸𝐶 / CF = (𝑎−𝐼𝐶)/IC (1)
Os triângulos [GOI] e [CIF] são semelhantes.
Logo, 𝐸𝐶 / IP = 𝐼𝐶 / (𝑏−𝑃𝐹) como IP=CF e PF=IC, vem 𝐸𝐶 / CF = 𝐼𝐶 / (𝑏−𝐼𝐶) (2)
De (1) e (2)
(𝑎−𝐼𝐶) / IC= 𝐼𝐶 / (b-IC) ⇔ 𝐼𝐶^2 = (𝑎−𝐼𝐶)(𝑏−𝐼𝐶) ⇔ 𝐼𝐶 𝑏 − 𝐼𝐶 ⇔
⇔ 𝐼𝐶^2 = (𝑎𝑏−𝑎.𝐼𝐶−𝑏.𝐼𝐶+𝐼𝐶\up;{2} ⇔ 𝑎𝐼𝐶+𝑏𝐼𝐶 = 𝑎𝑏 ⇔ 𝐼𝐶 = 𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏) 2𝐼𝐶 = 2𝑎𝑏 / (𝑎+𝑏) 𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 h𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑒 𝑏
Demonstração de que o raio dos círculos gémeos de Arquimedes é 𝑅 = 𝑎𝑏/(𝑎+𝑏)
Comecemos por considerar o círculo da esquerda.
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos [EMJ] e [OMJ], em que E é o centro do círculo da esquerda, O é o centro do círculo exterior, J é a projeção ortogonal de M sobre AB e M é o centro do círculo gémeo à esquerda. Assim, considerando o triângulo [EMJ] 𝐸𝑀=𝑎+𝑅; 𝐸𝐽=𝑎−𝑅;
𝑀𝐽^2 = (𝑎 + 𝑅)^2 − (𝑎 − 𝑅)^2 = (𝑎 + 𝑅 + 𝑎 − 𝑅)(𝑎 + 𝑅 − 𝑎 + 𝑅) = 4𝑎𝑅 (1)
Considerando o triângulo [OMJ] temos 𝑂𝑀 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑅;
Mas para a expressão de OJ teremos de considerar 3 situações possíveis: 1. 𝑂 está entre 𝐸 𝑒 𝐽 (fig.6)
𝑂𝐽 = 𝑂𝐵 − 𝐶𝐵 − 𝐽𝐶 = (𝑎 + 𝑏) − 2𝑏 − 𝑅
2. 𝑂 está entre 𝐽 𝑒 𝐶 (fig.7)
𝑂𝐽 = 𝑅 − 𝑂𝐶 = 𝑅 − ((𝑎 + 𝑏) − 2𝑏) = −(𝑎 + 𝑏) + 2𝑏 + 𝑅
Simétrico do anterior, mas como vamos elevar ao quadrado é indiferente.
3. 𝑂 está entre 𝐶 𝑒 𝐹 (fig.8)
Assim:
𝑀𝐽^2 =((𝑎+𝑏)−𝑅^2 −((𝑎+𝑏)−(2𝑏+𝑅))^2 =(𝑎+𝑏)^2 +𝑅^2 −2𝑅(𝑎+𝑏)−(𝑎+𝑏^2 −(2𝑏+𝑅)^2 +2(𝑎+𝑏)(2𝑏+𝑅) =𝑅^2 −2𝑎𝑅−2𝑏𝑅−4?^^2 −?^^2 −4𝑏𝑅+4𝑎𝑏+2𝑎𝑅+4?^^2 +2𝑏𝑅 = −4𝑏𝑅 + 4𝑎𝑏 (2)
De (1) e (2) vem 4𝑎𝑅=−4𝑏𝑅+4𝑎𝑏 ⇔ 𝑅= 𝑎𝑏/(a+b) , 𝑐.𝑞.𝑑
De forma análoga se demonstra para o círculo da direita.
Extensão da propriedade fundamental dos arbelos para 3 dimensões
Considerando 3 semiesferas nas mesmas condições (duas tangentes exteriormente e tangentes internamente a uma terceira e com círculos máximos assentes no mesmo plano)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑏𝑒𝑙𝑜𝑠 = 4/3(𝜋(𝑎+𝑏)^3) / 2 − (𝜋𝑎^3)/2 − (𝜋𝑏^3)/2 ) = 2𝜋𝑎𝑏(𝑎+𝑏)= 𝜋𝑎𝑏 × 2(𝑎+𝑏)
O volume do arbelos é igual ao volume de um cilindro cuja base é o círculo de raio √𝑎𝑏, (anteriormente considerado na propriedade fundamental a 2 dimensões) e a altura é o diâmetro da esfera exterior.
