26.1.14

Os 3º e 4º lugares geométricos da lista


Os dois primeiros lugares geométricos referiam-se a pontos a uma dada distância de um ponto dado (o primeiro) e de uma reta dada (o segundo).
O terceiro e quarto referem-se aos pontos equidistantes de 2 pontos dados ou de duas retas dadas.

III. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (III) dos pontos a igual distância de dois pontos dados. Clique no botão de animação (ao fundo à esquerda) e seja paciente. Verá que

  • o ponto médio M do segmento AB faz parte do lugar geométrico;
  • os pontos de interseção C e D das circunferências de iguais raios centradas em A e B, formam com A e B triângulos isósceles cujas alturas passam por M

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

IV. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (IV) dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas. Use o botão de animação ao fundo à esquerda.

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra


Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

24.1.14

Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.


Os lugares geométricos da LISTA (de Eves) são os seguintes:
  1. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de um ponto dado é a circunferência tendo o ponto dado como centro e a distância dada como raio
  2. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta.
  3. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.
  4. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.
  5. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
  6. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos A e B dados estão numa dada razão k≠1 é a circunferência de diâmetro IE, em que I e E dividem AB interna e externamente em segmentos na razão dada. (Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
  7. O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão k é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas. O lugar geométrico (iv) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.
  8. O lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma reta perpendicular à reta determinada pelos dos pontos dados.
  9. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.
Todas estas construções podem ser feitas com as reta e a circunferência postuladas por Euclides. Praticamente todas foram abordadas neste geometrias .   Em duas entradas recentes sucessivas, a construção (i) foi realizada primeiro só com circunferência e depois demonstrada com reta e circunferência.

Aqui está a construção que ilustra o lugar geométrico (II) dos pontos a uma distância dada de uma reta dada.

© geometrias, 24 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Visto esse, podemos avançar o seguinte: O lugar geometrico dos pontos a igual distância de duas retas paralelas dadas é uma reta paralela às retas dadas e a meia distância das duas (referido em terceiro lugar da lista de Birkhoff)
Em futuras entradas, ilustraremos e abordaremos com maior ou menor detalhe os restantes lugares da lista, bem como alguns lugares geométricos que usam algum (ou alguns) dos lg da lista .
Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

22.1.14

Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica


A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

© geometrias, 22 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.
Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

20.1.14

Construções e existência: o lugar geométrico como método?


Nas entradas anteriores, já referimos exemplos de axiomas, definições e postulados. Quando aceitamos os postulados, estamos a aceitar que para cada dois pontos distintos
  1. há uma linha reta que por eles passa;
  2. há uma circunferência centrada num deles e a passar pelo outro
Isto é o que fundamentalmente interessa, para o nosso estudo de geometria no plano (euclidiano). Usaremos estas aparentemente simples regras para realizar construções, sempre que construímos algum objeto que satisfaz a uma determinada condição, não só temos uma definição como temos assegurada a existência do definido ou que não é vazio o conjunto dos seres que nomeamos e atribuímos propriedades.
Depois de fixar as regras, o que fizemos foi determinar novos pontos ou figuras (conjunto de pontos) satisfazendo uma condição ou mais.
Determinámos uma circunferência de que conhecíamos o centro e cujo raio intervalo (raio) era dado por outros dois pontos. Para resolver essse problema, só precisámos de recorrer à definição de círculo e ao postulado da circunferência e concentrámo-nos em determinar um ponto de entre os pontos da figura procurada. Esse problema foi feito só com a circunferência postulada. Depois voltámos ao mesmo problema, com recurso à reta (régua) postulada e à circunferência (compasso) postulada.
Podemos resolver problemas só com circunferência, só com reta, com reta e circunferência. E sempre que encontrarmos um processo de resolução com reta e(ou) circunferência que prove a existência de uma figura relacionada com outra ficamos com uma ferramenta composta de vários passos construtivos com as primitivamente postuladas. E acrescentamo-las como ferramentas admissíveis (ou atalhos) ao nosso argumentário construtivo. Esta referência serve para lembrar que uma demonstração de existência ou construção deve poder ser reduzida a argumentos correntes (falados ou escritos) com base em axiomas, poucas regras simples, definições e cadeia de proposições (afirmações verdadeiras,....).
Claro que há muitos problemas que não se resolvem só com as postuladas reta e circunferência de dois pontos e isso, só quer dizer , que há figuras que podemos definir, mas de que não conseguimos provar a existência por construção recorrendo a ferramentas compostas a partir das inicialmente postuladas reta e circunferências por 2 pontos. Sabemos assim que há definições a que podem não corresponder construções com as regras admissíveis.... É bom termos uma imagem como prova do definido, é bom e preciso termos um discurso que substitua a imagem e é bom saber que há critérios para determinar o que pode ou não pode ser feito com as combinações das ferramentas postuladas por Euclides.
Nas próximas entradas vamos ocupar-nos de figuras planas construtíveis com as regras postuladas, isto é vamos resolver problemas de construção, muitos deles já abordados neste lugar por uma ou outra razão. Mas não seguimos as proposições (e suas demonstrações) nos "Elementos".
Varios autores sugerem com insistência uma abordagem autónoma do que habitualmente é nomeado por lugares geométricos como um método de construção e insistem na necessidade de conhecer um grande número de lugares geométricos - retas e círculos - construtíveis, a partir dos quais se podem determinar outros.
Os autores apresentam listas básicas distintas em número e, interessante também, com enunciados diferentes para os mesmos lugares geométricos.
As duas construções apresentadas nas entradas anteriores resolvem, de maneiras diferentes, o mesmo problema. Do mesmo modo, sabemos que a construção de um triângulo isósceles com base dada é a mesma da mediatriz de um segmento, da perpendicular a um segmento no seu ponto médio, do conjunto dos pontos que são equidistantes de dois pontos dados, ...

16.1.14

Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

© geometrias, 16 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.
  1. São dados três pontos O, A, B.
  2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se cortam reciprocamente em D. Tirando as retas OA, OD e AD (Postulado I), a demonstração da proposição I, já feita, garante que OA=OD=AD e ADO é um triângulo equilátero
  3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centrada em A e a reta AD que, pelo postulado II, podemos prolongar até encontrar essa circunferência em E tal que AE=AB, pela Definição XV
  4. A circunferência de centro D a passar por E corta a reta OD (prolongada) em F tal que DF=DE, pela Definição XV.
  5. Como sabemos que são iguais as partes DO da reta DF e DA da reta DE , também são iguais as partes residuais OF de DF e AE de DE, para quem acredita no Axioma III. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
  6. Finalmente, como OF=AE e AE=AB, pelo Axioma I. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si. se conclui que OF=AB e por consequencia temos tirado do ponto O a linha recta OF egual a outra dada AB.
Tudo quanto é nova transcrição dos "Elementos" aparece em itálico com a grafia da versão latina de 1855 de Frederico Commandino, na Imprensa da Universidade de Coimbra disponibilizada "online" por Jaime Carvalho e Silva.

14.1.14

O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.



Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:


© geometrias, 14 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra



Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.
  1. São dados três pontos O, A, B.
  2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
  3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
  4. A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.
Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.
Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.

12.1.14

Instrumentos euclidianos


As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.
No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si


e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.