constatámos diversas propriedades deixando ao cuidado do leitor a sua demonstração.
Perceber o porquê, também me inquieta. Seguem-se, então, justificações para três propriedades que me reapareceram recentemente.
Mariana S. 2022
Seja o triângulo \; \Delta [ABC] . \; \dot{C}M\; bissetriz do ângulo \; B\widehat{C}A , \; M \; a interseção da bissetriz \; \dot{C}M \; com o circuncírculo de centro \; O \;, \; OM\; mediatriz de \; \overline{AB}.
Propriedade 1.a)
Num triângulo a bissetriz de um ângulo e a mediatriz do lado oposto a esse ângulo, intersetam-se num ponto \; M\; do circuncírculo.
Figura 1
Prova:
\; A\widehat{C}M \; =\; M\widehat{C}B, \;\dot{C}M\; é bissectriz de \; \angle \widehat{C}
Então, \;\displaystyle\frac{\widehat{AM}}{2} \; = \; \displaystyle\frac{\widehat{MB }}{2}, \; A\widehat{C}M \; e \; M\widehat{C}B \; são ângulos inscritos.
Logo, \; \widehat{AM}\; = \; \widehat{MB},\; \;M\; é o ponto médio do arco \;{AB}\;, está à mesma distância de \;A\; e de \;B\;, logo \;M\; pertence à mediatriz de \;[AB]\;
c.q.d.
Propriedade 1.b)
\;M\; é equidistante de \;A,\;I. \;B, \;I_c\; sendo \;I\; o centro do círculo inscrito no triângulo \; \Delta[ABC]\; e \; I_c\; o centro do círculo ex-inscrito oposto a \;C.
Figura 2
Prova:
Queremos provar que \; MA \; =\; MB \; = \; MI\;= \; MI_c\;
\;MA\; = \; MB\; pois \;M\; pertence à mediatriz de \; [AB]
Observemos o triângulo \;\Delta [CIA]:\;
\;\displaystyle A\widehat{I}M =\frac{\widehat{A}}{2} \; + \; \displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}, o ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes. \;AI\; é a bissectriz do ângulo \; \angle \widehat{A}
\;\angle A\widehat{M}C \;=\; \angle A\widehat{M}I\; = \; \angle \widehat{B},\; ângulos inscritos no mesmo arco
\;\displaystyle I\widehat{A}M \;=\; 180° - \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \;( \widehat{A} + \widehat{C}) -\frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \; \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, \;MA \;=\;MI\;
\;I\widehat{A}I_c \; = \;90°\;, as bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares \displaystyle \angle M\widehat{A}I_c\;= \;90° - \angle I\widehat{A}M \; = \; 90°- \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{180° - \widehat{A} - \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{\angle \widehat{B}}{2} \angle M\widehat{I_c}A\; = \;\angle I\widehat{M}A - \angle M\widehat{A }I_c \;=\; \widehat{B} - \frac{\angle \widehat{B}}{2}\; = \;\frac{\angle \widehat{B}}{2} Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, \; \overline{MA} \; = \overline{MI_c}\; e como \; \overline{MI} \; = \overline{MI_c},\; \;M\; é ponto médio de \; II_c\;
c.q.d.
Sendo \;R\; o raio do circuncírculo
Propriedade 2.
O círculo que passa pelos três ex-incentros de um triângulo tem raio \;2R\; e centro \;I'\; simétrico de \;I\; relativamente a \;O\;
Figura 3
Prova:
Tracemos a perpendicular a \;AB\; por \;I_c.\; Esta é paralela a \;OM\; e intersecta \;IO\; em \;I'.\;
Sendo \;M\; o ponto médio de \;\overline{II_c},\; \;O\; é o ponto médio \;\overline{II'}\; e \;\overline{I'I_c} \;=\; 2\overline{OM}\;=\; 2R.
De forma análoga se demonstra que \;\overline{I'I_A}\; = \;\overline{I'I_B}\; = \;\overline{I'I_C}\; = \;2R. \;Logo \;I'\; é o centro da circunferência que pssa pelos ex-incentros e o seu raio é \;2R.\;
c.q.d.
Propriedade 3.
\;r_a + r_b + r_c \; = \;4R + r,\: sendo \;r_a,\; r_b \; e \; r_c \; os raios das circunferências ex-inscritas, \;r\; o raio da circunferência inscrita e \;R\; o raio da cirunferência circunscrita.
Figura 4
Seja \;P\; o pé da perpendicular tirada por \;I_B\; para \;AB.\; \;I_B = r_b\;
Seja \;Q\; o pé da perpendicular tirada por \;I_A\; para \;AB.\; \;I_AQ = r_a\;
Seja \;X'\; o ponto de intersecção de \;I'I_C\; com \;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja \;X'\; o ponto de intersecção de \;I'I_C\; com \;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja \;X'\; o ponto de intersecção de \;I'I_C\; com \;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja o ponto de intersecção do círculo de \;I'I_C\; inscrito com \;AB.\; \;OD\; é a mediana do trapézio \;[IXI'X'].\; \;OD \; = \;\displaystyle \frac{IX+I'X'}{2}\; =\; \frac{r+(2R~r_c)}{2} Seja N a intersecção da mediatriz de \;AB\; com o circuncírculo. Provemos agora que \;N\; é ponto médio de \;I_AI_B :\; Os ângulos \;I_AAI_B\; e \;I_ABI_B\; são retos ( as bissectrizes interna e externa são perpendiculares). Assim, existe uma circunferência que passa pelos pontos \;I_A,\; A,\; B\; e \;I_B. de diâmetro \;I_AI_B.\; Sendo \;OM\; a mediatriz de \;AB,\; \; N\; é o centro da circunferência de diâmetro \;I_AI_B.\; \; N\; é ponto médio de \;I_AI_B.\;
Então \;ND\; é a mediana do trapézio \;[I_APQI_B]\; ND \; =\; \displaystyle \frac{r_a + r_b}{2} \;\Leftrightarrow\; R + OD \;= \;\frac{r_a + r_b}{2} \Leftrightarrow R + \frac{r+(2R - r_c)}{2}\;=\;\frac{r_a+r_b}{2} \Leftrightarrow 4R +r \; =\; r_a + r_b + r_c \; c.q.d.
O conhecimento destas e outras propriedades facilita-nos a resolução de vários problemas. Por exemplo:
a) Em www. geometrias.blogspot.com , em 5.12.o6 , publica-se o seguinte exercício interativo
Determinar os vértices de um triângulo \;\Delta[ABC]\; de que se conhecem o centro \;I\; do circulo inscrito, o centro \;I_C\; do círculo ex-inscrito em \;C\; e o centro \;O_e\; do círculo definido pelos três ex-incentros \; I_a,\; I_b\; e \;I_c\;
Figura 5 A vermelho encontram-se os objetos alvo, a descobrir.
O ponto médio de \;II_C,\; M,\; é equidistante de \;A,\; I\; e de \; B\; e situa-se no circuncírculo.
O centro do circuncírculo é o ponto médio de \;O_eI \; e o seu raio é metade de \; O_e I\;
Figura 6
Determinar o vértice \;A\; do triângulo \; \Delta [ABC],\; conhecidos o lado \;[BC],\; a altura \;h_a\; a ele relativa e a diferença entre a soma dos raios dos círculos ex-inscritos e o raio do círculo inscrito. E apresenta-nos o seguinte exercício interativo
Figura 7
Atendendo à última propriedade referida, a reolução é simnples.
Figura 8
Mariana Sacchetti. Aveiro, Janeiro de 2022
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