Problema de Copernico

Problema copernicano:
Desenhe um círculo (C) de raio R, então imagine um círculo (C') de raio R/2 rolando para dentro sem escorregar em (C). Prove este resultado surpreendente:
todos os pontos das circunferências (C') permanecem numa mesma linha reta. .

1. (C): circunferência de centro O e raio OY;
2. (C'): circunferência de centros A a passar por O e tangentes interiormente à circunferência (O, OY);
3. Os pontos O, X, Y da circunferência (C) representam posições fixas desses pontos de (C) e os pontos A são centros das diversas circunferências (C') que se deslocam mantendo as propriedades de tangência em pontos F
4. O ponto A, centro das circunferências (C'), está sempre a igual distância de O e de F, e da circunferência de centro O e raio OA(=AF=MX=OM=OG=GY). Na ilustração, aqui apresentada, podemos deslocar A no arco MG da cirucnferência (O, OA)
5. $$ \alpha = \angle \;GÔA =\angle \;YÔF $$ $$ \beta = \angle EÂF $$ $$ Arco(YOF) = Arco(EAF)? $$ Porquê?

Nesta ilusrtração dinâmica, pode verificar as diversas posições de A e verificar que quando A toma a posição de GF toma a posição de Y, isto é, E coincide com F e Y. E quando A toma a posição de M, F assume a posição de X e e E a posição de O.....

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André MYX. Grenier Circulaire. Bulletin de liaison des Professeurs de Mathématiques, n.28 Le Cercle,mai 1981.AUDECAM. Association Universitaire pour le Développement de l'Enseignement et la Culture en Afrique et à Madagascar Problème de Copernic
Tracer un cercle(C) de rayon R, puis imaginer un cercle (C') de rayon R/2 roulant intérieurement sans glisser sur (C).
Démontrer ce résultat étonnant: todo o ponto A de la circonférence de (C') reste sur une droite.