27.2.15

Elementos: Teorema de Pitágoras.


Optamos por escolher alguns exemplos de enunciados e demonstrações de #"Os Elementos" para ilustrar o que Euclides tinha em mente quando usava a palavra igualdade associada à construção de conceitos diferentes. Temos andado a abordar resultados relacionados com áreas de figuras planas, apresentando resultados muito conhecidos (por enunciados atuais), mas transcritos do original para perceber como era ao tempo da génese das noções de geometria escrita.

TEOREMA DE PITÁGORAS
PROP. XLVII. TEOR.

Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto .


© geometrias. 28 de Fevereiro 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto seja BAC. Digo que o quadrado feito sôbre o lado BC é igual aos quadrados descritos sôbre os lados BA, AC, que formam o ângulo reto BAC.
Descreva-se sôbre BC o quadrado BDEC (Pr. 46.1.*), e sôbre BA, AC os quadrados GB, HC. Pelo ponto A tire-se AL, paralela (Pr. 31.1. **) a BD, ou CE, tirem-se também as retas AD, FC. Porque os ângulos BAC, BAG são retos (Def. 30. ***), as duas retas CA, AG estão em direitura uma com outra (Pr. 14.1. ****). O mesmo será a respeito das duas AB, AH. Os ângulos DBC, FBA, por serem retos, são iguais. Ajunte-se-lhes o mesmo ângulo ABC. Logo, o total DBA será igual ao total FBC (Ax. 2.*****). E sendo as duas AB, BD iguais às duas FB, BC, cada uma a cada uma, e o ângulo DBA = FBC, será o triângulo ABD = FBC outro triângulo (Pr. 4.1.******). Mas o paralelogramo BL é o dôbro (Pr. 41.1.*******) do triângulo ABD, porque está sôbre a mesma base BD, e entre as mesmas paralelas BD, AL; e o quadrado GB é o dôbro do triângulo FBC, porque tem a base comum FB, e estão q as mesmas paralelas FB, GC. Logo, sendo iguais os dobros de quantidades iguais (Ax. 6.********), deve ser o paralelogramo BL igual ao quadrado GB. Do mesmo modo, tiradas as retas AE, BK, se demonstra, que o paralelogramo CL é igual ao quadrado HC. Logo, o quadrado inteiro BDEC, feito sôbre o lado BC oposto ao ângulo reto BAC, é igual aos dois quadrados GB, HC formados sôbre os lados BA, AC, que fazem o mesmo ângulo reto BAC. □

*PROP XLVI.PROB.
Sôbre uma linha reta dada descrever um quadrado
**PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
*** DEFINIÇÃO XXX.
Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente equilátero e retângulo
**** PROP.XIV. TEOR.
Se em um ponto de uma linha reta qualquer concorrerem de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta os ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra.
***** AXIOMA II
Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.
****** PROP. IV. TEOREMA.
Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e os ângulos, compreendidos por êstes lados, forem também iguais; as bases e os triângulos, e os mais ângulos, que são opostos a lados iguais, serão também iguais.
*******PROP. XLI. TEOR.
Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sobre a mesma base, e enre as mesmas paralelas, o paralelogramo será o dobro do triângulo.
********AXIOMA VI
As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra quantidade, são iguais.

Nota: Dedicadas ao Teorema de Pitágoras, há mais 50 entradas com diferentes enunciados, construções, demonstrações, aplicações, ... publicadas neste Lugar Geométrico.
  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

22.2.15

Elementos: igualdade de "conteúdos" de triângulos.


Transcrevemos do Livro I de "Os Elementos"1 o enunciado e demonstração da proposição Pr. 37.1 que trata da igualdade de dois triângulos, no mesmo sentido da Pr. 35.1, apresentado para paralelogramos na entrada anterior. Estes resultados que tratam de apresentar condições em que duas figuras são iguais ("em área ou conteúdo") usando o método de "corta e cola" - remover e juntar figuras de ou a outras figuras - processo puramente geométrico.

PROP. XXXVII. TEOR.

Os triângulos, que estão postos sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.

© geometrias. 21 de Fevereiro 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Os triângulos ABC, DBC, estejam postos sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas AD, BC. Digo que os triângulos ABC, DBC são iguais.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se BE paralela a CA, e pelo ponto C tire-se CF paralela a BD (Pr. 31.1.*). Logo, EBCA, DBCF serão dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são iguais (Pr. 35. 1.**), por estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, EF; e o triângulo ABC é a metade (Pr. 34.1.***) do paralelogramo EBCA, que fica dividido em duas partes iguais pela diagonal AB, como também o triângulo DBC é a metade do paralelogramo DBCF, que é dividido em duas partes iguais pela diagonal DC. Logo, será o triângulo ABC = DBC, outro triângulo, porque as metades de quantidades iguais são também iguais (Ax. 7.****). □

*PROP. XXXI. PROB.

De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
**PROP. XXXV TEOR.

Os paralelogramos que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.
***PROP. XXXIV TEOR.

Os lados e os ângulos opostos dos espaços formados com linhas paralelas, ou paralelogramos, são iguais; e todo o espaço paralelogramo, fica dividido pela diagonal em duas partes iguais
****AXIOMA VII
VII. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais..

  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

17.2.15

Igualdade n'Os Elementos de Euclides - contexto e não definido


É verdade que partimos para as demonstrações de proposições em geometria (euclidiana), referidos a DEFINIÇÕES (I - XXXV), POSTULADOS (I -III) e AXIOMAS (I - XII), mas assumindo noções nossas, aparentemente intuitivas e construídas pela nossa instrução escolar. Nos resultados que vamos estudar em futuras entradas com construções (ou antes, demonstrações construtivas com régua e compasso), precisamos de nos aproximar de novo, em detalhe,de "Os Elementos" 1 e de quem os interpreta. Em que medida é que elas correspondem ao que Euclides tinha em mente ou ao que se encontra nos Elementos?

Tomemos para exemplo, o enunciado da
Proposição XXXV

transcrito do primeiro livro dos "Elementos" 1 - (Pr. 35.1) :

Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais



e da sua demonstração (também transcrita de "Os Elementos" 1):

Sejam os paralelogramos ABCD, EBCF sôbre a mesma base BC (Fig. acima), entre as mesmas paralelas AF, BC. Digo que o paralelogramo ABCD é igual ao paralelogramo EBCF.
Se os lados AD, DF (figura acima) dos paralelogramos ABCD, DBCF oposto à base comum BC tiverem um têrmo comum D (pode na figura deslocar E até coincidir com D); claro está que, sendo os paralelogramos ABCD, DBCF cada um o dôbro do mesmo triângulo BDC (Pr. 34.1.), serão iguais entre si.
Mas os lados AD, EF (Fig. acima em que pode deslocar E para ficar entre A e D, etc) não sejam terminados no mesmo ponto. No paralelogramo ABCD é AD = BC (Pr. 34.1. ), e no paralelogramo EBCF é EF = BC. Logo, será AD = EF (Ax. 1.). Ajunte-se a mesma reta DE, ou tire-se. Será AE = DF, isto é, o todo igual ao todo, ou o resto igual ao resto (Ax. 2 e 3). Mas é AB = DC. Logo, as duas EA, AB são iguais às duas FD, DC, cada uma a cada uma. Mas o ângulo externo FDC é igual (Pr. 29. 2.) ao interno EAB. Será o triângulo EAB = FDC outro triângulo (Pr. 4.1.). Do trapézio ABCF tire-se o triângulo FDC; e do mesmo trapézio ABCF tire-se o triângulo EAB. Logo, os paralelogramos ABCD, EBCE, que são os restos, serão iguais (Ax. 3) entre si.□


Ao ler o enunciado em que se fala de paralelogramos iguais nas condições de estarem sobre uma mesma base e estarem compreendidos entre as mesmas paralelas, remetemos sempre para áreas dos paralelogramos, apesar de não haver nomeação específica do que se esteja a tratar. As palavras igual, iguais, igualdade, ... aparecem em cenários diferentes no enunciado e na demonstração. Quando refere ângulo iguais ou segmentos iguais ou triângulos iguais paralelogramos iguais pode estar levar-nos a noções (não definidas ou não nomeadas) tão diferentes como amplitude de ângulo, comprimento, área,… congruência,… equivalência. Na proposição (Pr. 4.1.), referida na demonstração, Euclides utiliza expressões como sobrepor, ajustar, coincidir (ou sinónimas) para justificar a igualdade (geométrica) de dois triângulos, por exemplo. Na demonstração desta Proposição XXXV utiliza juntar, acrescentar a uma figura outra figura sem sobreposições para obter uma figura maior ou remover parte de uma figura para obter outra menor.... Significa isto que Euclides usou a palavra "igualdade" (e "desigualdade") a verificar certas propriedades (axiomas e noções comuns) para definir relações de equivalência. Contextos diferentes referem-se a noções diferentes: Dois segmentos iguais representam um mesmo comprimento, dois ângulos iguais representam uma mesma amplitude, .... paralelogramos sobre uma mesma base e compreendidos entre as mesma paralelas representam uma mesma área... No caso em estudo, as propriedades das relações (que é o que importa) que Euclides utiliza são, adaptadas grosseira e livremente de Robin Hartshorne 2:
  • Duas figuras iguais (congruentes, geometricamente iguais) têm igual conteúdo (mesma área)
  • Se cada uma de duas figuras tem igual conteúdo de uma terceira, têm igual conteúdo
  • Se pares de figuras com igual conteúdo são acrescentadas (adicionadas) com uma terceira (no sentido de serem juntas sem sobreposições para construir figuras maiores) então as figuras assim obtidas têm igual conteúdo.
  • A igualdade de conteúdo da diferença (por remoção) não depende de onde sejam removidas partes de igual conteúdo.
  • Metades de figuras de igual conteúdo têm igual conteúdo (duplicar duas figuras de igual conteúdo produz figuras de igual conteúdo)
  • Uma figura é sempre maior que uma das suas partes, o que significa que se uma figura é parte própria de outra, então a parte e o todo não podem ter igual conteúdo
  • que seguem os enunciados dos axiomas, como se pode ver pela transcrição 1 abaixo.
    AXIOMAS
    I. As cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si.
    II. Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais..
    III. E sé de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais. .
    IV. E se a cousas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão desiguais..
    V. E se de, cousas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão desiguais..
    VI. As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra quantidade, são iguais..
    VII. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais..
    VIII.Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra; são iguais..
    IX. O todo é maior do que qualquer das suas partes..
    (...)
    A demonstração mais bela do teorema de Pitágoras usa este resultado e a noção não definida (área, não gostamos de igual conteúdo) aqui apresentada.
    1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
    2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000