29.5.22

área do círculo restante do dado hexágono regular que nele se inscreve


Começámos por apresentar um hexágono regular de vértices $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E,\;F\;$ sendo $\;\overline{AB}=10 =\overline{BC}=..=\overline{FA}=.\;$
Queremos só que determine a área de parte do círculo exterior ao dado hexágono regular que nele se inscreve. .

25.5.22

a área do retângulo com um hexágono regular nele inscrito

A pedido, AAF,MIS e outr@s tudo farão:
Para a figura que se segue, começámos por apresentar um hexágono regular de vértices $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E,\;F\;$ sendo $\;\overline{AB}=1.\;$ Em seguida, tomámos o retângulo $\;P, \;Q,\; R, \;S.$
Queremos só que determine a área deste retângulo.



O problema fica resolvido se tomarmos as três diagonais $\;\overline{AD}, \; \overline{BE};$ e $\;\overline{CF}\;$ do hexágono que o dividem em seis trângulos equiláteros (de lado 1)



Dos lados do retângulo, vemos que
$\overline{PQ} = \overline{RS} = 2 = \overline{CF}\;$ e
$\overline{PS} = \overline{PF}+\overline{FS} = \overline{AE} = \overline{BD} = \overline{QC}+\overline{CR} = \overline{QR}\;$
que são somas das alturas de dois triângulos $\;\Delta [FAF']\;$ e $\;\Delta [F'EF]\;$ congruentes,
e tais que as suas alturas iguais e iguais a $\;\overline{PF}=\overline{FS}=\overline{QC}=\overline{CR}\;$ que podem ser calculados imediatamente já que $\;\overline{AP}=\frac{1}{2}\;$ e, em conseguência, $\;\overline{AF}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{PF}^2\;$ e $\;\overline{PF}^2 = 1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.\;$
Concluindo: $\;\overline{PF}=\;\overline{FS}\;=\;\overline{QC}=\;\overline{CR}= \frac{\sqrt{3}}{2}.\;$
O outro lado $\;\overline{PS}\; (=\;\overline{QR})\;$ do retângulo mede $\;\sqrt{3}\;$ e a área do retângulo mede-se por $\;2\sqrt{3}.\;$

1.5.22

estrelas pentagonais escondem algum segredo comum?

Têm e não escondem:

Num plano tomamos 5 pontos livres $\;A,\; B,\;C,\;D,\;E, \;$ e os 5 segmentos de reta -$\;[AC],\;[CE], \;[EB], \;[DA]\;$ dependentes das posições desses pontos tais que se intersectam: $\;[AD]\;\cap \;[BE] = {F}$,$\; [AC] \cap [BE] = {G}\;$.....
Para o que interessa, basta considerar os triângulos $\;\Delta [AGF]\;$, $\;\Delta [FBD]\;$ e $\; \Delta [CEG]\;$.
Do triângulo $\;\Delta [AGF]\;$ tiramos $\; \angle{FÂG} +\angle{A\hat{G}F} + \angle{G\hat{F}A} = 180º.\;$
Do triângulo $\;\Delta[FBD]\;$ por $\;\angle{G\hat{F}A}\;$ ser seu externo $\;\angle{G\hat{F}A}\;$ sabemos que $$\;\angle{G\hat{F}A}\;= \;\angle{F\hat{B}D} + \angle{B\hat{D}F}\;=\;\beta + \delta\;$$ e, do mesmo modo, por ser $\;\angle{A\hat{G}F}\;$ ângulo externo de $\;\Delta[GCE]\;$, sabemos que $$\;\angle{A\hat{G}F}\;= \;\angle{G\hat{C}E} + \angle{C\hat{E}G}\;=\: \gamma + \epsilon.\;$$ E concluir assim que a soma dos ângulos $\:\alpha, \;\beta, \;\gamma, \;\delta, \;\epsilon\;$ das pontas das estrelas pentagonais é $\;180º.$
Não deixe de deslocar os vértices dos pentágonos estrelados para se convencer .... que a soma dos seus ângulos é rasa......