Inverter é ver ao espelho. O quê,?

Tomámos uma circunferência de centro em O e raio r. Os inversos dos pontos de uma recta exterior a essa circunferência (inversora, assim lhe chamamos para simplificar) estão todos sobre uma circunferência que passa pelo centro da circunferência inversora. Falávamos de inverso mesmo no sentido do que neutralizaria um número pela multiplicação: a cada P da recta r, associamos o número p = |OP|/r e ao transformado P' de P fica associado um número p' =|OP'|/r=r/|OP|=p^-1. Claro que o ponto O a que corresponde |OO|=0 não é inverso de qualquer ponto (ou é inverso do ponto impróprio da recta - no infinito) e não tem inverso na inversão associada à circunferência de centro O (ou é inverso de qualquer ponto impróprio de qualquer recta).
[A inversa de uma recta é uma circunferência com menos um ponto (ou com um buraco). A imagem por inversão associada a uma cirunferência de uma recta acabada (incluindo os pontos impróprios onde ela começa e acaba, no infinito) é uma circunferência.]
Interessante é agora procurar inverter figuras geométricas ou ver as suas imagens num espelho circular. Qual é a imagem de uma recta secante à circunferência inversora? Qual é a imagem de uma cirunferência que não seja concêntrica com a crcunferência inversora de centro O e não passe por O? Qual é a imagem da própria circunferência inversora? Qual é a imagem de uma circunferência concêntrica com outra tomando para espelho uma delas? Qual é a imagem de um segmento de recta? E de um triângulo?
Tantas perguntas? Algumas delas. Cada pessoa pode fazer outras tantas e ver como as respostas fazem quadros surpreendentes e belos. Com que cores queremos pintar o nosso mundo do outro lado do espelho?

Determinar o inverso de A.

Considere a inversão associada à circunferência e determine o transformado de A por essa inversão.

O mesmo, de outro modo

Penso que pode ser interessante apresentar a inversão "mais ingénua", com a animação feita (determinação dos inversos P' dos pontos P da recta r, escolhida a unidade; |OR|=1) com os instrumentos de determinação geométrica - semelhanças de triângulos - abordados no 8º ano. Aqui fica.

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Nota: Este tipo de ligação entre operações e transformações servem ainda para ilustrar a noção de lugar geométrico.

Inversão de uma recta

Parece interessante, havendo tempo para tal no 9º ano, que se utilize a oportunidade da determinação da tangente por um ponto exterior a uma circunferência para uma referência à inversão, fazendo a ligação com as propriedades das operações com números.

O que acontece se a recta cortar a circunferência associada à inversâo?

O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes. A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos A,U,.) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?

[A.A.F.]
Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?

Inversão

Com os alunos do 8º ano, experimentei a compreensão de alguns procedimentos para efectuar, com régua e compasso, construções geométricas sobre segmentos correspondentes a operações sobre números. Escolhido um segmento para unidade, e dados segmentos de comprimentos a e b, quaisquer, não aparecia como fácil a determinação de um segmento correspondente ao comprimento ab e menos ainda os correspondentes aos comprimentos a/b, 1/a, a_2>, etc. Na altura, tal era pedido depois de termos cuidado das semelhanças de triângulos e os raciocínios usavam só a proporcionalidade entre segmentos determinados por feixes de rectas concorrentes cortadas por paralelas. Parece que não há qualquer problema em determinar 2a em linha nem em compreender o que significa ab, a₂ ou a(b+c) em termos de áreas, mas já tudo se complica quando se pede um segmento igual a 2a/3, ab, etc. Parece que não é assumida a sistemática comparação entre segmentos quando se fala em medida de um comprimento relativamente a outro.
No 9º ano, vamos poder voltar às operações sobre segmentos, agora com recurso sistemático a circunferência e tangentes tiradas por um ponto, sem acrescentar muito ao que se sabe sobre triângulos. Será que a compreensão aumenta? Estas dificuldades devem estar todas resolvidas quando entramos na geometria analítica como tal. Por exemplo, sobre a construção que se apresenta a seguir, está desenhada uma circunferência de raio 3 e as tangentes tiradas por um ponto P (que pode deslocar), um ponto P' (da polar de P relativamente à circunferência e colinear com O e P), define o segmento [OP'] cujo comprimento é o inverso do comprimento de [OP] se tomarmos como unidade o raio da circunferência.

[A.A.F.]
A transformação associada à circunferência dada que a cada P faz corresponder P' (e reciprocamente) nas condições da construção dada, toma naturalmente o nome de inversão relativamente à circunferência. Este é outro exemplo, para aprofundar e melhorar o conceito de medida, permitindo realizar exercícios geométricos muito atractivos geometricamente. Valerá a pena?

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No mundo do ATRACTOR há uma máquina muito potente que efectua inversões. Pode usar livremente.

Borel, 119

No livro Algèbre, programme de 1925. Borel,É; Montel; P. , Lib. Armand Colin. Paris:1926 , como um caso em que as propriedades do trinómio intervêm na discussão, é apresentado o Problema V: Um triângulo e um quadrado têm as suas bases sobre uma recta r e estão num mesmo semiplano dos definidos por ela. Determinar a recta r' paralela a r que corte os dois polígonos e de tal modo que a soma das partes dos polígonos fora da faixa entre r e r' seja equivalente ao triângulo [ABC]. (adaptado)



Determinar     x     tal que         área_[AB'C'] + área_[DE'F'G] = área_[ABC].

Aqui estamos mais à espera de uma resolução geométrica que seja simples.

Mas será possível esperar que algum estudante português dos ensinos básico ou secundário reuna condições e interesse para realizar este trabalho proposto; desde encontrar os binómios interessantes até discutir a existência das soluções?

Álgebra da involução

Sobre a involução, para finalizar, decidimos transcrever traduzidas algumas páginas de "Algèbre et Géométrie du Second Degrée" de Émile Borel. Muitas vezes, a álgebra ajuda a compreender melhor as construções geométricas e é, por isso, que fazemos esta transcrição (e homenagem!, diga-se)

24. Homografia e involução.

Estudámos em "La Géométrie et les Imaginaires" a transformação homográfica, ou seja, a relação entre duas variáveis tal que a cada valor de uma qualquer das duas variáveis corresponde um valor e um só da outra variável. Uma tal transformação é pois necessariamente linear em relação a cada uma das duas variáveis e pode ser escrita sob a forma:

(27)              a x x' + b x + b' x' + c = 0

A propriedade mais importante da transformação homográfica é a conservação da razão anarmónica, isto é, a razão anarmónica de quatro valores de x é igual à razão anarmónica dos quatro valores correspondentes de x'.
A equação (27) faz corresponder a cada ponto M de coordenadas x um ponto M' de coordenadas x'; mas esta transformação não é recíproca, ou seja, se designarmos por x as coordenadas de M', o valor x' correspondente não será a coordenada de M. Com efeito, se permutarmos x e x' em (27), obtemos:

(27')             a x x' + b x' + b' x + c = 0

e, subtraindo as duas equações (27) e (27') membro a membro, vem:

(28)             (b - b') (x - x') = 0

e, se supusermos x diferente de x', ou seja, x - x' diferente de 0, esta relação implica b = b'. Se esta relação se verifica, a transformação homográfica é dita "involução". Uma involução é, portanto, definida pela relação

(29)            a x x' + b (x + x') + c = 0

simétrica em x e x'. Os valores x e x' que verificam esta relação são ditos "pares" de pontos correspondentes da involução. Para que dois pontos estejam sobrepostos, ou seja, para que x = x' é necessário e suficiente que se tenha:

(30)             a x² + 2 b x + c = 0

isto é, que x seja um zero do trinómio       a x² + 2 b x + c.
Suponhamos em primeiro lugar que os seus zeros são distintos e reais e designemo-los por x₁ e x₂; ou seja, que temos

(31)              x₁+ x₂ = -2 b/a              x₁ x₂ = c/a

e, substituindo na equação (29) b e c pelos seus valores tirados de (31) e, dividindo por a, que não é nulo, a relação involutiva torna-se:

(32)             2 x x' - (x₁ + x₂) (x + x') + 2 x₁ x₂ = 0

o que pode escrever-se:

(33)              (x - x₁) (x' - x₂) + (x - x₂) (x - x₂) (x' - x₁) = 0.

Sejam M₁ e M₂ os pontos x₁ e x₂, M e M' os pontos x e x'; a relação (33) escrever-se-á:

(34)              MM₁ . M'M₂ + MM₂ . M'M₁ = 0

ou seja,

(35)              MM₁/MM₂ = - M'M₁/M'M₂.

Ela exprime que os pontos M e M' são conjugados harmónicos em relação aos pontos M₁ e M₂.
Se designarmos por O o ponto médio de [M₁M₂], sabe-se que temos:

(36)              OM . OM' = OM₁²

o ponto O é dito o "centro" da involução; ele corresponde ao ponto do infinito da recta.

Parábola e involução

Se tomarmos uma parábola inscrita num quadrilátero (quatro rectas tangentes à parábola), lados opostos e diagonais cortam uma recta em pares de pontos em involução. Pode fazer variar a parábola, a recta de corte e até as tangentes (lados do quadrilátero) para confirmar os resultados.



[A.A.F.]

Involução e parábola

Ainda prosseguindo na saga das involuções, Aurélio Fernandes apresentou uma construção com parábolas. Toma-se um quadrilátero inscrito na parábola (pode fazer variar o quadrilátero deslocando os seus vértices sobre a parábola). Sobre uma recta que corte as rectas contendo os lados e diagonais do quadrilátero, ficam determinados pares em involução. Estão determinados o centro O da involução bem como os seus pontos duplos M e N. Também pode fazer variar a parábola ou a recta que corta os lados do quadrilátero, deslocando os pontos em (x).


[A.A.F.]

Teorema de Desargues - dual

As tangentes tiradas por um ponto exterior às cónicas inscritas num quadrilátero pertencem a um feixe em involução definida pelos vértices opostos do quadrilátero.



[A.A.F]

Triângulo, cónica e involução

Tome-se o triângulo [ABC] e uma cónica tangente aos lados AB e AC em B e em C. Os pares de pontos de intersecção de r com as rectas AB e AC - (P,P') - e com a cónica -(Q,Q')- estão em involução. Utilizando a régua, determine um ponto duplo dessa involução.


[A.A.M.]
Originalmente, com recurso à aplicação ZuL(CaR)- R. Grothmann, esta publicação dava um enunciado de problema de construção e deixava aberta uma janela dinâmica para permitir ao observador interessado que, com as ferramentas adequadas disponíveis, resolvesse o problema e confirmasse a validade das suas escolhas e resultados. Para o mesmo efeito recorremos à aplicação Cinderella (J.Richter-Geberrt, Ul. Kortenkamp) em algumas iniciativas.
Nestas tentativas de recuperar as imagens (ilustrações dinâmicas) para serem visualizadas por quem visitasse e visite este BloGeometrias repositório das tentativas de estudo (construções) de António Aurélio Fernandes, Arsélio Martins e Mariana Sacchetti.

Elipse? Qual elipse?

Determinar a elipse de que se conhecem quatro pontos M, N, P e Q e uma tangente t.

Teorema de Desargues

Dada uma cónica e um quadrivértice nela inscrito, qualquer secante à cónica que não passe por vértices, corta a cónica e os lados opostos do quadrivértice em pares de pontos de uma mesma involução.


[A.A.F.]
Pode deslocar os vértices sobre a cónica.

Involução pelos pontos duplos

Determinar o segundo elemento do par (A,A') em involução de que P e Q são pontos duplos.

Cónica - polar, harmónica, involução

Por um ponto R, exterior a uma elipse dada, tiremos duas tangentes. E tracemos a polar de R - recta passando pelos pontos de tangência. Os pontos de tangência são pontos duplos de uma involução que transforma cada ponto no seu conjugado harmónico.



Estes factos que relacionam a involução com outras propriedades das cónicas já referidas, sugerem exercícios interactivos. Por exemplo: Como determinar pares em involução de que se conhecem apenas os pontos duplos.

Involução hiperbólica

O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução, cujo vértice é o centro da cónica. Os raios duplos dessa involução, caso existam, são as tangentes à cónica. Como na elipse o centro é interior e todos os diâmetros intersectam a curva, logo, a involução elíptica não tem pontos duplos.

No caso da hipérbole existem duas tangentes - as asssíntotas - à cónica passando pelo centro. Na involução hipérbolica há dois pontos duplos.

Recordamos a referência, em outro artigo, à seguinte propriedade: Os pares de diâmetros conjugados de uma hipérbole são conjugados harmónicos relativamente às assíntotas.

Diâmetros conjugados da elipse e involução

O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução cujo vértice é o centro C da cónica.
Na construção que se segue, os diâmetros conjugados da elipse intersectam uma recta r qualquer (pode fazer variar r, deslocando P) em pares de pontos em involução. Pode deslocar qualquer dos pontos asssinalados por (X), fazendo variar a cónica e os seus diãmetros conjugados).

[A.A.F.]
No caso da elipse não existem elementos duplos (qualquer circunferência de corda AA’ ou BB’, etc contém O no seu interior, logo não é possível traçar por O tangentes a essas circunferências) ; um ponto duplo da involução corresponderia a uma recta dupla no feixe de centro C que teria de ser tangente à conica. A involução elíptica não admite pontos duplos.

Em busca do ponto duplo

Determine os pontos duplos (S e T) da involução definida pelos pares conjugados (A,D) e (B,C).

Pontos duplos

Se numa involução houver um ponto M tal que |OM|² = k, diz-se que M é ponto duplo [ou que (M,M) é um par da involução]. Numa involução apenas pode haver 0 pontos duplos (elíptica) ou 2 pontos duplos (hiperbólica).
Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:

|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|² = |ON|² = k

Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:

(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.

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Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'e tiremos por O tangentes a essa circunferência, no caso OR e OS. Já sabemos que OR = OS e que OR.OS = OA.OA' =OR^2


[A.A.F.]
Onde está o outro ponto duplo?

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[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, R e S. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|²= |OA|*|OA'|= |OR|*|OR| e T é um ponto da circunferência (O, OR) e da reta r. T é, por isso, um dos pontos duplos da involução considerada. O ponto U será o outro ponto duplo, obviamente. Construímos as circunferências de centros em perpendiculares a r em T e U, tangentes em T e U, que verificamos se intersectam em pontos definidores de um eixo a passar por O, por escolhermos os seus raios maiores que OR]

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Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe RS tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma. No caso presente há dois pontos duplos; repare que pode tomar circunferências tangentes do mesmo lado de r concorrentes com um eixo como intersecção das duas que obviamente passa por O, como vimos.

Transformado por uma involução

Considere uma involução definida por dois pares A, A' e B, B' de pontos colineares. Determine o transformado de um ponto C, alinhado com os outros quatro, pela involução antes definida.

Centro de uma involução.

Dados dois pares de pontos em involução, determinar o centro O da involução

Consideremos uma involução definida sobre uma recta r por dois pares de elementos conjugados, (A,A') e (B,B'); vejamos como proceder para obter o centro O da involução:

Tracemos uma circunferência qualquer passando por A e A'; outra passando por B e B', de modo que se intersectem. Tracemos o eixo radical das duas circunferências. A intersecção do eixo radical com a recta r determina o ponto O. Basta recordar que o eixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos que têm igual potência em relação às duas circunferências; logo |OA|.|OA'| = |OB|.|OB'|

Como determinar um novo par? Claro que, qualquer circunferência que faça parte do feixe definido por este eixo radical, define novo par de elementos conjugados.



[A.A.F.]

Se mantiver fixos os pontos A, A', B e B', deslocando os centros das circunferências (enquanto se intersectem), verá que o ponto O se mantém invariante. Claro que se deslocar os pontos A, A', B e B' verificará que o ponto O muda (é centro de uma nova involução).

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Dado um par de pontos em involução, o centro e um dos elementos de outro par, determinar a sua imagem

São dados o centro O, o par (A,A') e o ponto B. Pede-se o ponto B' conjugado de B.

Tracemos uma circunferência qualquer que contenha A e A'. Por O façamos passar uma recta que intersecte a circunferência e que vai ser o eixo radical de um feixe de circunferências. A circunferência que passa por B, K, L determina B´sobre r.

Involução

Mantemos o texto original que acompanhava um exercício interactivo ou algo parecido que nos deixou para trás. Aqui vamos apresentar um exemplo de transformação geométrica, a involução a fazer corresponder a cada ponto P de uma reta r definida por dois pontos dados um outro ponto P' da mesma reta tal que para um ponto O, centro da involução, PO.OP' é invariante.

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António Aurélio Fernandes não descansa. Por força da sua saudável teimosia, andamos a procurar a melhor abordagem a algumas transformações geométricas afastadas dos programas escolares.
Hoje apresentamos uma transformação que é muitas vezes usada, com vantagem, na resolução de problemas de régua e compasso envolvendo cónicas. Nunca sabemos se o fazemos bem. Mas aqui fica uma tentativa que, depois de todas as voltas acabou praticamente na forma da sugestão inicial de António Aurélio Fernandes. A vida é feita de derrotas... para uns e vitórias... para outros. Mais coisa menos coisa.

Na construção que se segue, verá que para cada recta r definida por dois pontos R e S, a cada ponto P de r corresponde um ponto P' tal que |OP|.|OP'|=k. Deslocando P sobre r verá que esse produto é invariante qualquer que seja o ponto P e correspondente P'.

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[A.A.M]

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A esta aplicação que faz corresponder a cada ponto P de r um outro ponto P' da mesma recta, de tal modo que |OP|.|OP'|=k, chamamos involução de centro O e constante k.

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Deslocando R ou S, obterá nova recta e, logo, um novo centro O e uma nova constante k. Poderá mover C e confirmará que a cada ponto P corresponderá um ponto P' mantendo-se invariante (para cada recta RS) o produto |OP|.|OP'|.

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É muito interessante e potente este resultado. Muitas perguntas, muitos problemas são sugeridos imediatamente pela definição. Por exemplo, para cada recta e para cada constante qual o centro da involução?

Porque será que aquele produto é constante, quando P varia sobre a recta? É disso que vamos tratar, dando exemplos de involuções conhecidas...(?)

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A ilustração do caso presente - involução retangular (∠ PVP'= ∠ AVA' são retos e ∠ VOP também é reto)- agora apresentada é muito esclarecedora. Foi dedicada ao único bisavô deste projecto, a saber, António Aurélio Fernandes.

Hipérbole -Assíntotas e tangente.

[A.A.F.]

Aqui ficava uma primeira experiência em GeoGebra, livre de encargos, que recomendamos vivamente para ser usado no ensino. O resultado a que se refere ajuda a resolver um exercício interactivo recentemente poposto.

Diâmetro conjugado

Da hipérbole definida pelos seus vértices e uma assíntota é dado um diâmetro [AB]. Determinar o seu conjugado.

Dos diâmetros conjugados para os eixos

Há problemas em que se tem um par de diâmetros conjugados e se põe a questão de determinar os eixos. Vejamos um processo prático para determinar os eixos (Luís Veiga da Cunha. Desenho Técnico. Fundação Calouste Gulbenkian. Lisboa ).


[A.A.F.)

Sejam [AB] e [CD] um par de diâmetros conjugados. Após termos verificado que [CD] é o menor diâmetro, tomamo-lo como diâmetro de uma circunferência. Tracemos a mediatriz m de [CD] e os pontos K e L de intersecção de m com a circunferência. Por um dos extremos do diâmetro maior (A na imagem), tracemos as semi-rectas AK e AL. A bissectriz do ângulo KÂL dá a direcção do eixo maior. Já podemos traçar, com intersecção em O, o par de rectas perpendiculares (a azul) que contêm os eixos.

Sendo Q a intersecção da semi-recta AL com a recta que contém o eixo menor, |AQ| é o comprimento do semi-eixo maior |QL| é o comprimento do semi-eixo menor.

Diâmetros conjugados segundo Apolónio

Teoremas de Apolónio:

1. Numa elipse a soma dos quadrados de dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à soma dos quadrados dos dois semi-eixos: |AO|² + |CO|² = a² + b².
   Na construção que se segue, pode deslocar os pontos A, F₂ e V₁, confirmando esta afirmação.
   

[A.A.F.]
2. A área do paralelogramo construído sobre dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à área do rectângulo construído sobre os semi-eixos.
Pode deslocar os pontos A, F e V₁ para confirmar este resultado.
[A.A.F.] O mesmo se passa com a hipérbole. Pode deslocar S, V1, O e F2 para confirmar o resultado.
[A.A.F.]

Diâmetro conjugado

Seja [AB] um diâmetro; tracemos uma corda [PQ] paralela a AB; o ponto I de intersecção das tangentes em P e Q à cónica e o ponto O definem o diâmetro [CD] conjugado de [AB].



[A.A.F.]

Feixe harmónico: assintotas e diâmetros

Numa hipérbole, os pares de diâmetros conjugados são conjugados harmónicos em relação às assíntotas. Na construção que se segue, temos o diâmetro d₁ definido pelos pontos A e B; o seu conjugado d₂ é a recta que passa pelo centro e é paralela às tangentes à hipérbole em A e B. Ou seja, (a₁d₂a₂d₁) é um feixe harmónico o que se confirma verificando que determina numa recta r um quaterno harmónico (MNM'N'). [(a₁d₂a₂d₁) =(MNM'N')=-1]




[A.A.F.]


Na construção, pode deslocar os pontos M e M'.

Elipse: diâmetros conjugados

Na elipse da construção tomámos uma corda [AB] que (é polar) tem um pólo P exterior que é a intersecção das tangentes à cónica em A e em B.



[A.A.F.]

Na construção acima pode deslocar o ponto B: há uma posição em que a corda passa pelo centro O e se torna um diâmetro. Qual o seu pólo? Como as tangentes ficaram paralelas, o pólo P é o “ponto do infinito” dessa direcção (um ponto impróprio).
A polar do ponto do infinito da direcção definida pelas paralelas ao diâmetro [AB] vai ser o diâmetro [CD].




Mantenhamos a corda [AB] a passar pelo centro. Dois diâmetros, tais como [AB] e [CD] dizem-se “conjugados”: cada um é a polar da direcção definida pelo outro.

[A.A.F.]

---

É óbvio que, se dois diâmetros são conjugados, cada um bissecta as cordas paralelas ao outro: A.A.F. dixit

Conjugados e separação harmónica

Os pontos conjugados de uma secante p a uma elipse são conjugados harmónicos relativamente aos pontos R e S de intersecção de p com a elipse: (P’RMS) = -1.




[A.A.F.]

Elementos conjugados

Consideremos um ponto P e seja p a sua polar em relação à elipse. A polar p’ de um ponto P’ que pertence a p é uma recta que contem P. Os pontos P e P’ dizem-se conjugados; as rectas p e p’ são conjugadas. Na construção a seguir pode deslocar P.


[A.A.F.]


Dois pontos são conjugados se cada um pertence à polar do outro.
Duas rectas são conjugadas se cada uma passa pelo pólo da outra.
No triângulo [PP’M] cada vértice é o pólo do lado oposto; diz-se, por isso, autopolar.

Elipse: Da polar ao pólo

Dada uma recta p e uma elipse, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à elipse

Da polar ao polo

Apresentámos a determinação da polar de um ponto dado relativamente a uma cónica dada. Agora, aqui deixamos um exercício interactivo de determinação do pólo de uma recta dada relativamente a uma dada cónica.

Dada uma recta p e uma cónica c₁, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à cónica c₁







Nota: A construção deste exercício foi muito elucidativa das dificulades em trabalhar com reconhecimento de pontos obtidos por construções que recorram à incidência de um ponto sobre uma cónica qualquer. Embora ReC reconheça a incidência e faça deslizar um ponto sobre uma cónica não é garantido utilizar esse ponto ou as suas coordenadas aproximadas em ulteriores determinações delas dependentes.

Elipse: Polo (interior) e polar

Construção da polar de um ponto P interior.

Podemos utilizar o método do quadrilátero circunscrito.
Por P traçamos duas cordas [AC] e [BD]. As tangentes à elipse nos extremos das cordas formam um quadrilátero completo. Os vértices M e N determinados por lados opostos do quadrilátero definem a polar de P.



[A.A.F.]

Repare-se que BC e AD se intersectam sobre a polar de P e, obviamente, o mesmo acontecerá com a intersecção de AB com CD.

Podíamos ter optado pelo quadrilátero inscrito determinado pelos extremos das cordas, o que nos poupa da determinação de tangentes à elipse.

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Esta construção serve tambem para determinar o polo de uma recta exterior relativamente a uma elipse.

Elipse: Polo e polar

Construção da polar de um ponto P exterior

- Método das tangentes: traçamos por P as tangentes à cónica; os pontos de tangência definem a polar.

[A.A.F.]
< - Método do quadrilátero: por P traçamos duas secantes; as intersecções com a cónica determinam um quadrilátero; os dois pontos de intersecção dos lados opostos definem a polar de P.



[A.A.F.]

Cónicas: pólo e polar

Há cerca de um ano atrás, decidimos dar uma determinada orientação a este blogue. De facto, estava a iniciar-se uma "febre" de resolução de problemas de geometria no "Geometriagon" (http://www.polarprof.org/geometriagon/default.asp). Atendendo a que muitos dos problemas exigiam o conhecimento de conceitos geométricos (e propriedades) muito afastados dos actuais programas escolares, considerámos que seria desejável fornecer instrumentos de trabalho para evitar frustrações...

Recentemente têm aparecido no "Geometriagon" uma série de problemas referentes a cónicas que exigem o conhecimento de questões tais como razões harmónicas, polos e polares, elementos conjugados, projectividades, involuções. Daí estarmos a desenvolver tais assuntos na medida em que vão ser necessários para resolver os problemas propostos.
Voltemos, então, às cónicas como foi prometido.

Polo e polar relativamente à elipse

Tomemos um ponto P e uma elipse. Façamos passar por P uma secante s à elipse; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à elipse é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção.

Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à elipse; P é o polo de p.
Se P é ponto da cónica, a sua polar é a tangente em P.


[A.A.F.] Ao deslocar o ponto B da elipse, verificará que o conjugado P' de P em qualquer dos quartetos harmónicos da figura vai estar sobre uma reta p. Deslocando P para tomar posições quaisquer no exterior da elipse verificará que a cada posição de P corrresponde um ponto P' e que ao deslocar B verificará que P' tomará, como é de esperar, posições sobre a mesma reta - polar de P.

Círculo polar

Publicamos um exemplo de exercício interactivo em que se aplicam definições de polar de um ponto (relativamente a uma circunferência) como uma actividade de descontração no meio deum grande conjutno de resultados que nos vão levar de volta às cónicas.
Aqui fica: Dados dois pontos P e A, pretende-se determinar uma circunferência que passe por P e em relação à qual uma recta a dada é a polar de A.

Polaridade

Polar de um ponto em relação a duas rectas

Tomemos um ponto P e duas rectas r e r' concorrentes em O. Façamos passar por P uma recta s que intersecta r e r' em A e B; determinemos o conjugado harmónico, P', de P em relação a A e a B: (PP'AB) = -1.
Qual será o lugar geométrico dos pontos P' conjugados harmónicos de P em relação aos pontos A e B quando s varia?
Demonstra-se que é uma recta d´definida por P' e O. Diz-se que d' é a polar do ponto P em relação às rectas r e r'.





Se a polar de P passa por P', a polar de P' passa por P.

Considerámos duas rectas concorrentes. Se as rectas são paralelas mantém-se o que foi dito.

Polar de um ponto em relação a uma circunferência

Tomemos um ponto P e uma circunferência (c). Façamos passar por P uma secante s à circunferência; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à circunferência é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção. Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à circunferência; P é o polo de p.





Para determinar a polar de P, basta fazer passar por P duas secantes e determinar os dois conjugados harmónicos de P. Claro que se traçarmos as tangentes ªa circunferência por P, a polar é definida pelos pontos de tangência.

Considerámos o ponto P exterior à circunferência. Se P for interior, a polar será uma recta exterior.

Se P é ponto da circunferência, a sua polar é a tangente à circunferência em





Um exemplo notável de polo e polar: já foi referido que, na elipse e na hipérbole, cada directriz é a polar do foco correspondente em relação ao círculo principal.

Pontos conjugados em relação a uma circunferência: A e B são conjugados se a polar de cada um passa pelo outro.
Rectas conjugadas em relação a uma circunferência: a e b são conjugadas se o polo de cada uma pertence à outra.

A razão positiva

Se a razão dupla anarmónica (ABCD) = k for positiva, C e D não separam A e B, que é o mesmo que dizer que C e D ou estão ambos entre A e B ou ambos fora do segmento [AB].
Para determinar um quaterno anarmónico de razão dupla positiva, por exemplo, (ABCD)=1/4, basta fazer uma construção semelhante à que fizemos no artigo anterior, mas em que tomamos sobre a recta tirada por A dois segmentos 4 para 1 num dos semiplanos definidos pela recta dos pontos AB.
Assim:


[A.A.M.]
Na nossa construção pode fazer variar a recta m (AMN) e os pontos A, B e C.

Razão anarmónica

Até agora temos vindo a considerar casos de divisão e separação harmónica em que a razão dupla de quatro pontos colineares (ABCD) =(|AC|/ |BC|) / (|AD|/ |BD|)= 1, (ou -1, considerando os vectores).

Podemos considerar casos de divisão e separação não harmónica em que a razão dupla (ABCD)=k diferente de -1. Dizemos que tal razão é anarmónica. Interessante é saber determinar o quarto anarmónico, isto é, determinar sobre uma recta r, o ponto D assim relacionado com A, B e C: |AC|/|BC| = k. (|AD|/|BD|). Para o exemplo de construção que se segue, consideramos k=2 (k=-2, se considerássemos os vectores).



[A.A.M.]

Por A fazemos passar uma recta m qualquer em que marcamos dois segmentos na razão 2 para 1. Com o extremo do segmento 2 (de m) e o ponto C definimos uma recta n; n intersecta a recta p paralela a m tirada por B. Unindo esta intersecção (de m com p) ao extremo do segmento 1 de m, definimos uma recta que intersecta r no ponto D.

Nota: No caso da nossa construção, não haverá ponto próprio D, correspondendo a um ponto C que seja tal que |AC|=2.|BC|.

Feixes harmónicos

Se tivermos quatro pontos - A, B, C e D - colineares e tais que (ABCD)=-1, dizemos que um feixe de rectas paralelas ou concorrentes que passem por eles é um feixe harmónico e convencionamos escrever O(ABCD)= (abcd)=-1.


[AdAM]
Se um recta corta um feixe num quarteto harmónico convencionamos chamá-lo de feixe harmónico porque qualquer outra recta que corta o feixe o faz segundo um quarteto harmónico (a harmonia é invariante por projecção central ou paralela). Um exemplo simples e interessante de feixe harmónico é constituído por dois lados de um triângulo qualquer e as bissectrizes internas e externas do ângulo formado por esses dois lados.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente A e B, (ABCD)=-1, os seus transformados, por projecção de centro O sobre s, são tais que C' e D' separam harmonicamente A' e B'.


[A.dA.M.]
A razão harmónica é invariante por projecção (seja ela paralela, seja central). No caso, pode verificar que a razão harmónica se mantém invariante, quando desloca O (muda o centro da projecção), quando desloca S (faz variar a recta s), e ainda quando deslocar A, B ou C sobre a recta r.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente os pontos A e B, as imagens por projecção paralela sobre s, C' e D' separam harmonicamente os pontos A' e B'.



[A.dA.M.]
Na construção, pode deslocar os pontos A,B e C sobre r, bem como A' sobre s e mudando de uma para outra projecção paralela. Pode ainda verificar factos de que as harmonias se matem para cada ABC-->D depende de Q e A'B'C'-->D' não depende de T e variando as posições de P pode obter prova de que não depende do destino da projecção paralela.

Quadrilátero completo

Chamamos quadrilátero completo à figura formada por 4 rectas (lados) que se cortam duas a duas, de tal modo que haja 6 intersecções (vértices). Às 3 rectas definidas por vértices não consecutivos, damos o nome de diagonais e ao triângulo por elas formado, damos o nome de triângulo diagonal.


[A.A.M]
E, como é óbvio, cada diagonal é dividida harmonicamente pelas outras duas.
Usando a liberdade de C, D, E pode, sem mudar as posições de A e B, pode deslocar P até que coincida com a posição do ponto médio de [AB], e verá que CE fica paralelo a AB e deixamos de ter o triângulo diagonal (Q está no infinito ou, se quisermos, é um ponto impróprio).
Dito de outro modo, não falamos do conjugado harmónico de P relativamente a A e a B, se P for ponto médio de [AB] ( se fosse |AP|=|BP|, para haver conjugado harmónico de P relativamente a A e B, teria de haver em AB um ponto Q fora de [AB] tal que |AQ|=|BQ|).

Conjugados harmónicos, com régua

Sejam [AB] e P de [AB]. A partir de A e B construimos um quadrilátero completo de vértices A, B, C, D, E e F obrigando a que uma diagonal passe por P (E tem de ficar determinado sobre a recta PC). A outra diagonal DF intersecta AB em Q, que é o conjugado harmónico de P relativamente a A e B.



[A.A.M.]
Na figura, pode movimentar o ponto C e verificar que as mudanças no quadrilátero não influenciam e para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Movimentando o ponto P verifica que as variações de comprimentos dos vectores não prejudicam a igualdade das razões. Para cada ponto P há um conjugado Q relativamente a A e B.
Claro que também pode movimentar A e B e verificar que para cada par (A,B) há um conjugado de P.

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À margem:
Estas entradas sobre divisões harmónicas resolvem problemas de divisão e multiplicação de segmentos (em linha).
Se P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B, |AP|/|BP|=|AQ|/|BQ|. Por exemplo, dizer que |AP|/|BP|=3 é o mesmo que dizer |AB|=4|BP| e determinar o conjugado de P é determinar um ponto Q tal que |AQ|=3|BQ|.
|AB|=|AQ|-|BQ|=2|BQ|, logo |AQ|=1,5|AB|

Conjugados harmónicos, com régua e compasso.

Sabendo que as bissectrizes do ângulo C de um triângulo [ABC] determinam sobre AB conjugados harmónicos relativamente a [AB], podemos tratar de encontrar um processo geral para determinar o conjugado de um ponto qualquer da recta AB relativamente a A e B.

Tomando a mediatriz de [AB] e uma circunferência que passe por A e B, bem como o diâmetro [MN] sobre a mediatriz , a recta que passa por M e qualquer ponto P entre A e B é a bissectriz de um ângulo ACB, em que C é um ponto de MP sobre a circunferência. A recta NC é bissectriz externa do mesmo ângulo e, por isso, intersecta AB em Q que é o conjugado de P. De modo análogo, podemos partir de um ponto exterior a [AB] unindo-o a N para determinar o seu conjugado relativamente a A e B.

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Passos da construção com régua e compasso:

• de n=1 a n=5 determina-se o conjugado de um ponto do segmento [AB];
• de n=6 até n=10 determina-se o conjugado de um ponto da reta AB exterior ao segmento [AB]

[AdAM]

Na figura, pode movimentar o centro O da circunferência e verificar que para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Ao movimentar o ponto P verifica que para cada ponto P há um conjugado Q. Pode também movimentar A e B.

harmonia triangular

Seja o triângulo [ABC] e as bissectrizes interna e externa do ângulo C que intersectam a recta AB em P (entre A e B) e Q. Estão dados os comprimentos |PA|, |PB|, |QA| e |QB|, para verificar que |PA|/|PB|= |QA|/|QB|. Pode mover os potos A, B sobre a recta r e C livremente na folha. Constatará que as razões se mantêm iguais.


[A.A.M.]

Quando há esta relação de igualdade entre as razões |PA|/|PB| e |QA|/|QB|, dizemos que é harmónica a separação operada por P e Q no segmento [AB] e que P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B.

Para continuar as cónicas mais adiante

Só aparentemente é que vamos interromper a série de propridades e exercícios sobre cónicas. Para continuar esse trabalho, sentimos necessidade de fazer algumas viagens por conceitos que não são leccionados nas escolas portuguesas e são, por isso, estranhos à maioria dos leitores portugueses deste "blog".
Cónicas, até já!

Em busca da hipérbole IV

Traçar uma hipérbole de que se conhece um ponto Q, uma assíntota a₁ e uma directriz d₁.