Tomemos um ponto P e duas rectas r e r' concorrentes em O. Façamos passar por P uma recta s que intersecta r e r' em A e B; determinemos o conjugado harmónico, P', de P em relação a A e a B: (PP'AB) = -1.
Qual será o lugar geométrico dos pontos P' conjugados harmónicos de P em relação aos pontos A e B quando s varia?
Demonstra-se que é uma recta d´definida por P' e O. Diz-se que d' é a polar do ponto P em relação às rectas r e r'.
Se a polar de P passa por P', a polar de P' passa por P.
Considerámos duas rectas concorrentes. Se as rectas são paralelas mantém-se o que foi dito.
Polar de um ponto em relação a uma circunferência
Tomemos um ponto P e uma circunferência (c). Façamos passar por P uma secante s à circunferência; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à circunferência é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção. Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à circunferência; P é o polo de p.
Para determinar a polar de P, basta fazer passar por P duas secantes e determinar os dois conjugados harmónicos de P. Claro que se traçarmos as tangentes ªa circunferência por P, a polar é definida pelos pontos de tangência.
Considerámos o ponto P exterior à circunferência. Se P for interior, a polar será uma recta exterior.
Se P é ponto da circunferência, a sua polar é a tangente à circunferência em
Um exemplo notável de polo e polar: já foi referido que, na elipse e na hipérbole, cada directriz é a polar do foco correspondente em relação ao círculo principal.
Pontos conjugados em relação a uma circunferência: A e B são conjugados se a polar de cada um passa pelo outro.
Rectas conjugadas em relação a uma circunferência: a e b são conjugadas se o polo de cada uma pertence à outra.