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29.2.12

Exercício interativo: projetividade entre feixes

No princípio o que aqui foi apresentado foi um
]EXERCÍCIO INTERATIVO[
De dois feixes abcd e a'b'c'd projetivos, conhecem-se abcd e a'b'c' em que a→a', b→b' e c→c'. Determine d' - imagem de d, pela projetividade definida por (abc) →(a'b'c').

De acordo com o enunciado, apresentava-se o problema de construção que podia ser feito usando dados presentes na janela e ferramentas disponíveis para que o leitor pudesse realizar as operações necessárias para resolver o problema (encontrar a solução). Nesta restauração, ainda mantemos essa possibilidade a partir da segunda etapa em que os dados ficam expostos. Mas usando os passos (pela animação ou não) presentamos etapas da apresentação dos dados e de operações por nós escolhidas para chegar à solução.


[A.A.M.]

28.5.07

Feixe harmónico: assintotas e diâmetros

Numa hipérbole, os pares de diâmetros conjugados são conjugados harmónicos em relação às assíntotas. Na construção que se segue, temos o diâmetro d1 definido pelos pontos A e B; o seu conjugado d2 é a recta que passa pelo centro e é paralela às tangentes à hipérbole em A e B. Ou seja, (a1d2a2d1) é um feixe harmónico o que se confirma verificando que determina numa recta r um quaterno harmónico (MNM'N'). [(a1d2a2d1) =(MNM'N')=-1]




[A.A.F.]



Na construção, pode deslocar os pontos M e M'.

6.3.05

Teorema de Pascal

N'O Dicionário de Geometria Curiosa, publicado pela Gradiva (nº 23 da Colecção O Prazer da Matemática), David Wells escreve:
Blaise Pascal descobriu o seu famoso teorema com a idade de 16 anos, em 1640, e publicou-o num opúsculo intitulado Essai pour les coniques. O teorema afirma que se partirmos de um hexágono inscrito numa cónica, então os três pontos nos quais os pares de lados opostos se encontram ficam alinhados. Se os pontos do hexágono forem designados por ABCDEF, então AB e DE serão lados opostos intersectando-se num ponto X e assim por diante. A recta XYZ é a recta de Pascal.
Para um hexágono inscrito em ziguezague, os pontos de encontro ficam dentro da cónica e a figura parece-se muito com a figura do Teorema de Papo. Na realidade, o Teorema de Papo é um caso especial do teorema de Pascal em que a cónica degenera num par de linhas rectas. Se o hexágono for desenhado de uma maneira mais normal, então os três pontos colineares ficarão fora da cónica.



Por definição, o Cinderella (ou o CaR, ou o Geogebra ou o ...) determina uma cónica qualquer dados cinco dos seus pontos e, também automaticamente, determina a circunferência que passa por três dos seus pontos. A circunferência fica também determinada dado o centro e um dos seus pontos ou dado o centro e o raio. O que até agora não consegui resolver foi tomar um sexto ponto de uma cónica definida por cinco pontos. É claro que podem determinar-se seis pontos sobre uma circunferência dada.

Apresenta-se a construção relativa ao Teorema de Pascal para seis pontos de uma circunferência . Depois de aceder a essa antiga construção pode mover os pontos sobre a circunferência para verificar que os 3 pontos de intersecção dos lados opostos se mantêm sobre a mesma recta, sendo natural esperar que os pontos de intersecção saiam rapidamente dos limites da folha.

[A.A.F.]
Recentemente, para uma sessão de demonstração do Cinderella,agora em Geogebra, os professores da Escola José Estêvão que a promoveram propunham alguns problemas para serem resolvidos. Entre eles, apareciam as construções relativas ao Teorema de Pascal e ao seu dual - Teorema de Brianchon. E voltei a enfrentar a tal dificuldade insuperável do sexto ponto sobre a cónica definida por cinco pontos. Então propus uma verificação interessante para mim. Tomava cinco pontos sobre uma cónica e um sexto ponto. Fazia toda a construção e unia por uma recta dois dos pontos de intersecção dos lados opostos do hexágono. Podia ver-se que sempre que aproximava o meu sexto ponto da cónica, o terceiro ponto das intersecções de lados opostos se aproximava da tal recta previamente traçada pelos outros dois. E aproveitava para falar da minha limitação sempre na esperança de que alguém avançasse com algum palpite novo.

Nada mais aconteceu a este respeito. E decido-me, agora, a publicar uma construção referida a o que poderia chamar um recíproco do Teorema de Pascal.


[A.A.F.]


Tomo 3 pontos G, H e I sobre uma recta e, a partir deles e de 3 pares de rectas neles concorrentes, reconstruo um sextuplo de pontos tal que a cónica definida por cinco deles passa pelo outro.

Tem interesse, penso eu, já que permite, manipulando os pontos da figura, ver as diversas cónicas e em que condições a recta de Pascal atravessa (ou não) a cónica em cada caso. Também se pode procurar a posição em que a cónica degenera e se fica com a construção relativa ao teorema de Papus.