Involução e parábola

Ainda prosseguindo na saga das involuções, Aurélio Fernandes apresentou uma construção com parábolas. Toma-se um quadrilátero inscrito na parábola (pode fazer variar o quadrilátero deslocando os seus vértices sobre a parábola). Sobre uma recta que corte as rectas contendo os lados e diagonais do quadrilátero, ficam determinados pares em involução. Estão determinados o centro O da involução bem como os seus pontos duplos M e N. Também pode fazer variar a parábola ou a recta que corta os lados do quadrilátero, deslocando os pontos em (x).

Triângulo, cónica e involução

Tome-se o triângulo [ABC] e uma cónica tangente aos lados AB e AC em B e em C. Os pares de pontos de intersecção de r com as rectas AB e AC - (P,P') - e com a cónica -(Q,Q')- estão em involução. Utilizando a régua, determine um ponto duplo dessa involução.

Teorema de Desargues

Dada uma cónica e um quadrivértice nela inscrito, qualquer secante à cónica que não passe por vértices, corta a cónica e os lados opostos do quadrivértice em pares de pontos de uma mesma involução.



Pode deslocar os vértices sobre a cónica.

Involução pelos pontos duplos

Determinar o segundo elemento do par (A,A') em involução de que P e Q são pontos duplos.

Diâmetros conjugados da elipse e involução

O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução cujo vértice é o centro C da cónica.
Na construção que se segue, os diâmetros conjugados da elipse intersectam uma recta r qualquer (pode fazer variar r, deslocando P) em pares de pontos em involução. Pode deslocar qualquer dos pontos asssinalados por (X), fazendo variar a cónica e os seus diãmetros conjugados).

No caso da elipse não existem elementos duplos (qualquer circunferência de corda AA’ ou BB’, etc contém O no seu interior, logo não é possível traçar por O tangentes a essas circunferências) ; um ponto duplo da involução corresponderia a uma recta dupla no feixe de centro C que teria de ser tangente à conica. A involução elíptica não admite pontos duplos.

Involução

António Aurélio Fernandes não descansa. Por força da sua saudável teimosia, andamos a procurar a melhor abordagem a algumas transformações geométricas afastadas dos programas escolares.
Hoje apresentamos uma transformação que é muitas vezes usada, com vantagem, na resolução de problemas de régua e compasso envolvendo cónicas. Nunca sabemos se o fazemos bem. Mas aqui fica uma tentativa que, depois de todas as voltas acabou praticamente na forma da sugestão inicial de António Aurélio Fernandes. A vida é feita de derrotas... para uns e vitórias... para outros. Mais coisa menos coisa.

Na construção que se segue, verá que para cada recta r definida por dois pontos R e S, a cada ponto P de r corresponde um ponto P' tal que |OP|.|OP'|=k. Deslocando P sobre r verá que esse produto é invariante qualquer que seja o ponto P e correspondente P'.

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A esta aplicação que faz corresponder a cada ponto P de r um outro ponto P' da mesma recta, de tal modo que |OP|.|OP'|=k, chamamos involução de centro O e constante k.

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Deslocando R ou S, obterá nova recta e, logo, um novo centro O e uma nova constante k. Poderá mover C e confirmará que a cada ponto P corresponderá um ponto P' mantendo-se invariante (para cada recta RS) o produto |OP|.|OP'|.

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É muito interessante e potente este resultado.Muitas perguntas, muitos problemas são sugeridos imediatamente pela definição. Por exemplo, para cada recta e para cada constante qual o centro da involução?

Porque será que aquele produto é constante, quando P varia sobre a recta? É disso que vamos tratar, dando exemplos de involuções conhecidas...(?)