GEOMETRIA : lugar geométrico

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15.1.18

Envolvente. Problema recorrrendo a lugar geométrico (20)

Notas prévias:

O lugar geométrico dos pontos a uma distância

$\;r\;$ de um ponto

$\;O\;$ dado é uma circunferência centrada em

$\;O\;$ e de raio

$\;r\;$ e uma circunferência centrada em

$\;O\;$ e de raio

$\;r\;$ é o lugar geométrico dos pontos a uma distância

$\;r\;$ do ponto

$\;O.\;$
A distância de um dado ponto O a uma reta a é igual ao comprimento do segmento da reta perpendicular tirada por

$\;O\;$ a

$\;a\;$ de extremos

$\;O\;$ e

$\;A,\;$ pé dessa perpendicular a

$\;a;\;$ e, por isso, podemos dizer que sendo o
lugar geométrico dos pontos dos pés das perpendiculares a retas equidistantes de um ponto

$\;O\;$ é uma circunferência ou mesmo que a circunferência é o lugar geométrico das retas equidistantes de

$\;O\;$ tomando por cada reta o seu ponto de tangência ou dizendo que a circunferência é envolvente (que envolve ou é envolvida) das retas equidistantes do seu centro.

Problema: Para um dado ângulo

$\;\angle B\hat{A}C, \;$ determinar a envolvente da base

$\;BC\;$ de um triângulo

$\;[BAC]\;$ cujo perímetro é constante.

F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 123. Quelle est l'envelope de la base BC d'un triangle BAC dont le périmètre est constant, et dont l'angle A est donné de grandeur et de position?

A seguir encontra-se uma ilustração dinâmica dos dados do enunciado deste problema, bem como dos auxiliares passos de uma construção em apoio da demonstração.

Apresenta-se ao cimo da janela um segmento de reta de comprimento igual ao perímetro $\;2p\;$ constante de um triângulo $\;ABC\;$ partido em 3 segmentos, da esquerda para a direita, $\;AB, \;BC, \;CA.\;$ e também em duas partes iguais a $\;p,\;$ $\;AM, \;MA\;$ .
Logo abaixo na janela, temos um exemplar de triângulo com um ângulo $\;Â\;$ dado (no caso, de amplitude 46°) e lados com os comprimentos referidos acima ou seja com o perímetro constante considerado (no caso, 7).
Considerámos, no segmento original, o ponto $\;B\;$ a tomar posições entre $\;A\;$ e $\;M,\;$ já que $\;AB < BC+CA\;$ (desigualdade triangular). Se deslocar $\;B\;$ pelas posições dos pontos de $\;AM,\;$ obtemos todos os representantes dos triângulos de perímetro 7 e com ãngulo 46° em $\;A.\;$
Os lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ são segmentos das retas definidas por cada um dos pares de pontos $\;(A,\; B),\; (A, \;C).\;$ Já vimos que não há triângulo quando $\;B=A\;$ ou quando $\;B=M\;$

14 janeiro 2018, Criado com GeoGebra

As posições extremas de $\;B:\; B=M\;$ e $\;B=A \;$ levam-nos a aos pontos de intersecção de $\;AB\;$ e $\;AC\;$ com a circunferência $(A, \;p)$ sendo $\;p=AM\;$ semiperímetro de triângulos com um ângulo de 46°
$\;AD=AE=p,\;$ ou seja $\;ADE\;$ é um triângulo isósceles de base $\;DE.\;$ com ângulo $\;Â\;$ dado (46°)
$\;AD+AE = 2p = AB+BC+CA\;$
Consideremos a circunferência de centro em \;H\; tangente em \;D\; e \;E\; às retas \;AB\; e \;AC\; respetivamente:
- $\;DH \perp AB, \;HE \perp AC,\;$
- Por ser $\; DH=HE, \; \;\; H\;$ está na bissetriz do ângulo $\;Â.\;$ Assim, esta circunferência $\;(H, HE)\;$ é uma ex-inscrita de qualquer dos triângulos $\;ABC\;$ e portanto tangente a $\;BC.\;$
As bases $\;BC\;$ são tangentes ao arco aberto da circunferência $\;(H, \;HT):\; ]\widehat{DTE}[ \;$ a vermelho (os extremos a castanho $\;D, \;E\;$ não são pontos da envolvente dos segmentos $\;BC\;$ considerados).

10.9.16

Lugar geométrico das intersecções de planos a passar por um ponto e a intersectar um plano dado segundo retas paralelas

7.9.16

Lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais é dada a soma das distâncias a dois planos dados.

29.7.16

Experiências na folha gráfica 3D do GGB5: um Lugar Geométrico e a Homotetia

2.1.16

O mundo do meio

Problema: Construir uma circunferência que passe por um ponto

$\;A\;$ dado e corte duas circunferências -

$\;c_1, \;c_2\;$ - dadas segundo os ângulos

$\; \alpha , \; \beta \;$ respetivamente.

O ângulo de uma reta

$\;r\;$ com uma circunferência que a corte num ponto

$\;P\;$ é um ângulo de vértice

$P$ cujos lados são

$r$ e a tangente à circunferência em

$\;P.\;$ Se duas circunferências se cortam, dizemos que se cortam segundo um ângulo

$\;\alpha \;$ quando as tangentes às duas num ponto de interseção fazem um ângulo de amplitude

$\; \;\alpha .\;$ Neste caso, temos de encontrar uma circunferência que corte

$\;c_1\;$ segundo um ângulo

$\; \alpha\;$ (verde) e

$\;c_2\;$ segundo o ângulo

$\;\beta \;$ (castanho).
Para isso bastará inverter as circunferências dadas relativamente a uma circunferência de inversão e depois encontrar uma reta que corte as inversas segundo aqueles ângulos. Como a inversão conserva os ângulos se invertermos essa reta obteríamos uma circunferência a cortar as dadas segundo os ângulos dados. Esta circunferência inversa da reta deve passar pelo ponto

$\;A\;$ dado e, para isso acontecer, bastará que a circunferência de inversão tenha centro em

$\;A.\;$
Os procedimentos necessários já foram dissecados antes, por exemplo, na antepenúltima entrada publicada a 20 de dezembro do passado ano em que se apresentava a resolução do problemma " Construir uma circunferência que passe por dois pontos

$\;A,\;B\;$ dados e corte uma reta dada segundo um dado ângulo

$\; \alpha. \;$

Fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar

$\; A, \; O_1, \;O_2, ....\;$ com consequências que vão até poder ver em que condições há duas ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar.

Na figura -

$\;\fbox{n=0}\;$ - estão patentes os dados do problema.
Em -

$\;\fbox{n=1}\;$ - acrescenta-se uma circunferência

$\;i\;$ de centro

$\;A\;$ (raio qualquer) que vai servir de circunferência de inversão.

$\;\fbox{n=2}\;$ - A inversão relativa à circunferência

$\;i\;$ ou

$\;(A)\;$ transforma a circunferência

$\;c_1 \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; (O_1) \;$ numa circunferência

$\;c'_1\;$ de centro

$\;O'_1$ e

$\;(O_2)\;$ em

$\;(O'_2)\;$ (tracejadas)

$\;\fbox{n=3}\;$ - Determinamos as circunferências (pontilhadas) concêntricas com

$\;c'1 , \;c'_2\;$ para cada uma das quais qualquer das suas retas tangentes fazem ângulos
-

$\; \alpha \;$ com

$\;c'_1\;$ , inversa de

$\;c_1\;$
-

$\; \beta \;$ com

$\;c'_2\;$

$\;\fbox{n=4}.:\;$ Tomamos uma tangente (laranjada) comum a essas duas circunferências que obviamente cortará

$\;(c'_1)\;$ segundo um ângulo

$\; \alpha\;$ e

$\;c'_2\;$ segundo um ângulo

$\;\beta\;$

$\;\fbox{n=5} :\;$ - Por isso e porque a circunferência da inversão tem centro

$\;A\;$ , invertendo a reta alaranjada relativamente a

$\;(i),\;$ obtemos uma circunferência que é solução do problema, -

$\;\fbox{n=6,7}\;$ - aqui realçada

Claro que no caso dos concretos dados originais e da nossa figura há mais três soluções, já que os nossos dois círcul(inh)os (a pontilhado) admitem quatro tangentes mostradas para

$\;\fbox{n=8, 9, 10} \;$
Pode fazer variações claro....

^* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
201. Construire un cercle passant par un point donné

$\;A\;$ et coupant deux cercles donnés

$\;(C),\;(C')\;$ sous des angles donnés

$\;\alpha,\; \alpha '.$

15.12.15

Dobras de um canto com uma dada área são um problema?

Imagine que o primeiro quadrante do plano

$\;Oxy\;$ é um folha de papel gigante.Fixe uma constante

$\;k\;$ e imagine que o canto em

$\;(0,0)\;$ é dobrado para um ponto

$\;P \;$ da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área

$\;k.\;$ Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como

$\;P.\;$

Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos

$\;Q\;$ e

$\;R\;$ aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva

$\;O\;$ para

$\;P\;$ . E designamos por

$\;S\;$ o ponto de interseção de

$\;OP\;$ com

$\;RQ\;$ . Como os ângulos em

$\;O\;$ e em

$\;P\;$ são iguais e retos,

$\;RQ\;$ é o diâmetro da circunferência que passa por

$\;Q,\;P,\;R,\;O.\;$

$P$ obtém-se como imagem de

$O$ por uma meia volta em torno de

$\,QR,\;$ ou dito de outro modo, para cada

$\;Q\;$ e cada

$\;R\;$ , há um

$\;P\;$ imagem

$\;O\;$ por simetria de eixo

$\;QR.\;$

$\;OQ=QP, \;OS =SP, \; OR=RP.\;$

© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra

A área do triângulo

$PQR$ é dada por

$\; \displaystyle QR \times \frac{OP}{2}\;$ ou por

$\; \displaystyle \frac{QP\times PR}{2}$ .
Designemos por

$\;(x, y)\;$ as coordenadas cartesianas de

$\;P:\;\; x=OQ, \; y=OR\;$ e por

$\;(\rho, \; \theta\;)\;$ as coordenadas polares de

$\;P:\; \; \rho= OP =2\times SP, \; \theta=\angle Q\hat{O}P.\;$
No caso da nossa construção, atribuímos o valor

$\;3\;$ a

$\;k\;$ e a condição do problema que

$\;P\;$ deve satisfazer é, pelo que vimos,

$\;x\times y = 6.\;$
Como

$\;OS \perp QR \;$ , do triângulo

$\;OSQ\;$ retângulo em

$\;S\;$ , tiramos

$\;\displaystyle \frac{OS}{OQ} = {\rm cos}\; \theta \;$ ou

$\; \displaystyle \frac{\rho}{2}=x.{\rm cos}\; \theta. \;$
Também o triângulo

$\;RSO\;$ é retângulo em

$\;S\;$ e

$\;R\hat{O}S = \displaystyle {\pi \over 2} - \theta\;$ e

$\; \displaystyle \frac{\rho}{2}=y.{\rm cos}\; ({\pi \over 2}-\theta)\;$ ou

$\displaystyle\frac{\rho}{2}=y.{\rm sen}\; \theta . \;$
De

$\;\rho = 2x. {\rm cos} \theta\;$ e

$\;\rho=2.{\rm sen} \theta\;$ podemos concluir que

$\;\rho ^2 = 4xy.{\rm sen}(\theta).{\rm cos}\; \theta\;$ ou, por ser

$\; 2{\rm sen}(\theta).{\rm cos}(\theta) ={\rm sen}(2\theta),\;$ e

$\;xy=2k\;$ (no nosso caso

$\;6\;$ ), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos

$\;P (\rho, \; \theta)\;$ tais que os triângulos

$\;QPR\;$ de dobragem têm área

$\;k\;$ constante satisfazem a seguinte equação

$\rho ^2 = 4k. {\rm sen}(2\theta)$ que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem

$\;x\geq 0 \wedge y\geq 0 \;$ restrições consideradas no enunciado do problema.)

Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar

$\;Q\;$ para ver o ponto

$\;P\;$ descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que\, considerado que

$\;P(x, y):\; xy=2k\;$ e deixando livre

$\;Q(x, 0)\;$ o ponto

$\;R (0, y)\;$ é dele dependente:

$\;y=\displaystyle \frac{2k}{x}\;$

$^1\;$ 7. Don't Cut Corners — Fold them Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.

6.2.15

espiral: lituus

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira aborda uma espiral conhecido por Lituus que é o lugar geométrico dos pontos

$\;P\;$ para os quais é constante a área dos setores circulares

$\;P_0OP\;$ sendo

$\;O\;$ um ponto fixo e centro da circunferência de raio

$\;OP_0 = OP\;$ e os diferentes ângulos

$\;\alpha = P_0\hat{O}P\;$ têm por primeiro lado uma semi-reta dada de extremo em

$\;O\;$ , onde incidem todos os pontos

$\;P_0\;$ .
Como sabemos, para cada

$\;P\;$ , um círculo de de raio

$\;OP \;$ tem área

$\;2\pi \times OP^2 \;$ e um seu setor circular correspondente a um ângulo ao centro

$\;P_0\hat{O}P\;=\;\alpha \;$ radianos, tem por área

$\;\alpha \times OP^2 .\;$ .

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\left\{\;P: \;OP^2\times \alpha= a^2\;\right\}$ em que são dados

$\;O, \; a\;$ . No caso da nossa construção, tomámos

$\;a=2,5\;$ e

$\;\alpha\;$ a percorrer os valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ]. \;$
Para cada valor de

$\;a\;$ , um ponto

$\;P\;$ do nosso lugar geométrico "Lituus" fica definido em função de

$\;O,\;$ dado, e de ângulo

$\;\alpha\;$ medido a partir de dada semi-reta com extremidade em

$\;O\;$ :

$OP^2 \times \alpha = a^2 \Leftrightarrow OP = \frac{a}{\sqrt{\alpha}}$ Na figura estão assinalados os pontos

$\;A, \;B,\;C, \;D:\;$

$A_0\hat{O}A=\frac{\pi}{2}\;$ e

$\;OA=a\times \sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$B_0\hat{O}B=\pi\;$ e

$\;OB=a\times \sqrt{\frac{1}{\pi}}$

$C_0\hat{O}C=\frac{3\pi}{2}\;$ e

$\;OACa\times \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$

$D_0\hat{O}D=2\pi\;$ e

$\;OD=a\times \sqrt{\frac{1}{2\pi}}$

$\forall L\in \mathbb{R}^+, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ : [\alpha<\delta \Rightarrow OP>L ] \wedge [\alpha >L \Rightarrow OP<\delta]$

iFrancisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

23.1.15

Espiral de Fermat

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada

$\;Q\;$ existe um ângulo

$\;\theta\;$ e ponto

$\;D\;$ sobre

$\;AB\;$ tal que

$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$ sendo que para cada

$\;D\;$ de

$\;AB\;$ haverá um

$\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que

$\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou

$\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$ ):

: $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
$\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$

Cada ponto

$\;R\;$ é obtido por rotação em torno de

$\;A\;$ e ângulo

$\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente

$\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que

$\;R\;$ é obtido como imagem de

$\;Q\;$ por meia volta de centro em

$\;A\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$ e

$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$ em que são dados

$\;A, \;B\;$ e

$\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ].$

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

16.1.15

Espiral de Arquimedes

A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos

$\;P\;$ de uma semi-reta

$\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto

$\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de

$\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada

$\;P\;$ existe um ângulo

$\;\alpha\;$ e ponto

$\;D\;$ sobre

$\;AB\;$ tal que

$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$ sendo que para cada

$\;D\;$ de

$\;AB\;$ haverá um

$\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que

$\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou

$\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$ ):

: $\; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;$
$\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$ em que são dados

$\;A, \;B\;$ e

$\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ].$

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

4.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela interior.

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado na entrada anterior, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência

$\;(O, \; r)\;$ e de um ponto

$\;A\;$ tal que

$\;AO \leq r\;$ .

Na nossa construção,

$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência

$\;(O, \; r)\;$ e um ponto

$\;A\;$ interior a ela.
Fazendo variar os valor de

$\;n\;$ no cursor

$\;\fbox{n=}\;$ , pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de

$\;A\;$ e de

$\;(O, \;r)\;$

$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por

$\;A\,$ e

$\;O\;$ interseta a circunferência no ponto

$\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de

$\;A. \;$ A distância de

$\;A\;$ à circunferência é, pois,

$\;AB_0= r-AO\;$ e o ponto

$\;M-0\;$ , médio do segmento

$\;AB_0\;$ é equidistante de

$\;A\;$ e de

$\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos

$\;P\;$ equidistantes de

$\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos

$\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta

$\;PO\;$ . Tomando um ponto

$\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos

$\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta

$\;BO,\;$ com

$\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância

$\;PB\;$ de

$\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a

$\;PA, \;$

$\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de

$\;AB\;$ , para cada

$\;B\;$ da circunferência.

$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$ Clicando sobre o botão

$\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de

$\;B\;$ verificará que, quando

$\;B\;$ percorre a circunferência

$\;(O, \;r),\;$ o ponto

$\;P\;$ percorre uma elipse de focos

$\;A\;$ e

$\;O,\;$ como seria de esperar, já que

$\;PA=PB=r-PO\;$ que é o mesmo que

$\;PO+PA=r :\;$
A soma

$\;PO+PA\;$ das distâncias de

$\;P\;$ a

$\;A\;$ e a

$\;O\;$ é constante (igual ao raio

$\;r\;$ da circunferência dada).

1.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela exterior.

Ao longo dos anos, apresentamos várias definições e várias construções para as cónicas recorrendo a condições com distâncias de ponto a ponto, de ponto a reta, de reta a reta. Vamos agora introduzir lugares geométricos dos pontos que verificam condições usando distâncias de ponto a circunferência, reta a circunferência e circunferência a circunferência. Nesta entrada, trataremos do lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto e a uma circunferência dados.

Tomemos um ponto

$\;A\;$ e uma dada circunferência

$\;(O, r)\;$ . A distância do ponto

$\;A\;$ a

$\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;AO - r\;$ no caso de $\;A\;$ ser exterior à circunferência; <\li>
$\;r-AO\;$ no caso de $\;A\;$ ser interior à circunferência;
$\;0\;$ n caso de $\;A\;$ estar sobre a circunferência.

De um modo geral, podemos dizer que a distância de um ponto

$\;P\;$ qualquer do plano a uma circunferência

$\;(O, \; r)\:$ é dada por

$\; |PO-r|\;$

Na nossa construção,

$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência

$\;(O, \; r)\;$ e um ponto

$\;A\;$ exterior a ela.
Fazendo variar os valor de

$\;n\;$ no cursor

$\;\fbox{n=}\;$ , pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de

$\;A\;$ e de

$\;(O, \;r)\;$

$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por

$\;A\,$ e

$\;O\;$ interseta a circunferência no ponto

$\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de

$\;A. \;$ A distância de

$\;A\;$ à circunferência é, pois,

$\;AB_0= AO-r\;$ e o ponto

$\;M-0\;$ , médio do segmento

$\;AB_0\;$ é equidistante de

$\;A\;$ e de

$\;(O, \;r)\;$ e, por isso é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos

$\;P\;$ equidistantes de

$\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos

$\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta

$\;PO\;$ . Tomando um ponto

$\;B\;$ da circunferência, variável, a existirem cada um dos pontos

$\;P\;$ que procuramos estará sobre alguma reta

$\;BO,\;$ com

$\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como distância

$\;PB\;$ de

$\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a

$\;PA, \;$

$\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de

$\;AB\;$ , para cada

$\;B\;$ da circunferência.

$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$ Clicando sobre o botão

$\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de

$\;B\;$ verificará que, quando

$\;B\;$ percorre a circunferência

$\;(O, \;r),\;$ o ponto

$\;P\;$ percorre uma hipérbole de focos

$\;A\;$ e

$\;O,\;$ como seria de esperar, já que

$\;PA=PB=PO-r\;$ que é o mesmo que

$\;PO-PA=r :\;$
A diferença

$\;PO-PA\;$ das distâncias de

$\;P\;$ a

$\;A\;$ e a

$\;O\;$ é constante (igual ao raio

$\;r\;$ da circunferência dada).

30.4.14

Resolver problema de construção usando lugar geométrico e uma translação

Problema:
De uma dada posição

$\;P\;$ , observam-se dois pontos assinalados

$\;A,\;B\;$ segundo um dado ângulo

$\;B\hat{P}A=\alpha\;$ e, depois de percorrer uma dada distância numa dada direção

$\;UV\;$ , na posição

$\;Q\;$ observam-se os pontos assinalados

$\;A, \;B\;$ segundo um dado ãngulo

$\;B\hat{Q}A= \beta\;$ .
Determinar as posições

$\;P, \;Q\;$ em que foram feitas as observações.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

Deslocando o cursor

$\fbox{n=1, ..., 5}$ (direita ao fundo) pode ver os passos da resolução.

São dados dois ângulos $\;\alpha, \;\beta\;$ e um segmento $\;UV\;$ ou $\;u\;$ , e os dois pontos $\;A, \;B\;$ observados segundo os ângulos dados antes e depois de percorrer, numa direção paralela, uma distância igual a $\;UV\;$
O lugar geométrico dos pontos $\;P$ tais que $\;B\hat{P}A = \alpha\;$ é constituído por 2 arcos (abertos) congruentes para os quais $\;AB\;$ é corda comum um em cada semi-plano dos determinado pela reta $AB$ . Na nossa construção tomamos um dos semi-planos definidos por $\;AB\;$ e o arco a verde nesse semi-plano. Do mesmo modo, se determina e se escolhe o arco capaz do ângulo $\;B\hat{Q}A=\beta\;$ , a castanho na figura.
Na nossa resolução, usando o método da entrada anterior, aplicamos uma translação segundo o vetor $\overrightarrow{UV}$ ao arco verde $\;(O_1)$ , obtendo um arco verde (a tracejado na figura).
Esta arco interseta o arco castanho $\;(O_2)\;$ num ponto que designamos por $\;N_2$ . É, por isso, um dos pontos $\;Q\;$ , ou seja, $\;\angle B\hat{N_2}A = \beta$ .
O ponto $N_1$ a que corresponde $N_2$ pela translação $\;{\cal{T}}_{\overrightarrow{u}}\;$ tal que $\;N_1 N_2 =UV$ é um ponto do arco verde $\;(O_1)\;$ original, ou seja, $\;\angle B\hat{N_1}A =\alpha$ .
Os pontos $N_1$ e $N_2$ são posições de observação pedidas no problema como fica bem ilustrado com a marcação dos ângulos segundo os quais são vistos os pontos assinalados

Este problema é exemplo interessante por ser apresentado com enunciados diversos para vários contextos, propiciar estudo e discussão sobre existência de soluções e mobilizar lugares geométricos e transformações geométricas na sua resolução.

8.4.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17c)

Problema: Determinar um ponto a partir do qual se veem segundo ângulos iguais três segmentos

$\;AB\;$ ,

$\;BC\;$ e

$\;CD\;$ sobre uma dada reta

$\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto que usa os lugares geométricos e os processos já descritos, em detalhe, nas entradas anteriores.

Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ sobre ela. O ângulo $\;\alpha\;$ é apresentado com vértice em $\;A\;$ sendo $\;a\;$ um dos lados e o outro uma reta tracejada a verde que passa por $\;A\;$ e por um ponto verde.
Usando o 5º lugar geométrico da lista, para um dado ângulo \;\alpha, começamos por determinar os conjuntos dos pontos P tais que
- $\;A\hat{P}B = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;A, \;B\;$ )
- $\;B\hat{P}C = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;B, \;C\;$ )
- $\;C\hat{P}D = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;C, \;D\;$ )

Comecemos por olhar para os segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ , tomamos o triângulo $\;AKC\;$ , sendo $\;K\;$ um ponto de interseção do lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais $A\hat{P}B= \alpha\;$ com o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $B\hat{P}C= \alpha\;$ . Assim $\;K\;$ é um ponto tal que o triângulo $\;AKC\;$ tem por bissetriz $\;KB\;$ e a circunferência de Apolónio relativa a $\;AKC\;$ cujos extremos do diâmetro são os pés das bissetrizes de $\;A\hat{K}C\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;K, \;K'\;$ quando $\alpha\;$ toma valores entre $\;0\;$ e $\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\;$
$\;K, \;K'\;$ simétricos relativamente a $\;a\;$
Para os segmentos $\;BC\;$ e $\;CD\;$ , de modo análogo, tomamos o triângulo $\;BHD\;$ e o ângulo $\;B\hat{H}D$ que é bissetado por $\;HC\;$
A circunferência de Apolónio para o o triângulo $\;BHD\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;H, \;H´\;$ para os quais $\;B\hat{H}C= C\hat{H}D= \alpha\;$ quando $\;\alpha\;$ toma valores entre $\;0\;$ e $\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\;$
$\;H, \;H'\;$ simétricos relativamente a $\;a\;$
Dos pontos de interseção das duas circunferências de Apolónio construídas, $\;R, \;S\;$ , vimos $\;AB, \;BC, \;CD\;$ segundo um mesmo ângulo que não depende da amplitude de $\;\alpha\;$ mas só das posições de $\;A, \;B, \;C., D\;$ .

Pode variar o ângulo

$\;\alpha\;$ e as posições de

$\;A\;$ ,

$\;B\;$ ,

$\;C\;$ e

$\;D\;$ . Faça isso.

6.4.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17b)

Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se veem segundo ângulos iguais dois segmentos

$\;AB\;$ e

$\;CD\;$ sobre uma dada reta

$\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo.

Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ sobre ela.
Usando o 5º lugar geométrico da lista, para um dado ângulo \;\alpha, começamos por determinar os conjuntos dos pontos P tais que
- $\;A\hat{P}B = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;A, \;B\;$ )
- $\;C\hat{P}D = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;C, \;D\;$ )
© geometrias, 6 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra
O ponto $\;H\;$ (ou qualquer um dos outros pontos de interseção dos dois pares de arcos capazes determinados) é um ponto a partir do qual se tiram retas para $\;A\;$ e $\;B\;$ por um lado, e para $\;C\;$ e $\;D\;$ por outro, tais que $\;A\hat{H}B = C\hat{H}D =\alpha\;$
Consideremos agora o triângulo $\;AHD\;$ , e o ângulo $\;A\hat{H}D$
Considerando as bissetrizes desse ângulo: uma interna $\;HI\;$ outra externa $\;HE\;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ são os pés dessas bissetrizes sobre $\;a= AB=CD=AD\;$
Sabemos que
$\;A\hat{H}I =;I\hat{H}D$ e
$\;A\hat{H}B + B\hat{H}I=I\hat{H}C+C\hat{H}D$ , temos $\;B\hat{H}I=I\hat{H}C\;$ ou seja $\;HI\;$ é bissetriz interna de $\;B\hat{H}C\;$ e $\;HE\;$ bissetriz externa do mesmo ângulo
Fixados $\;A,\;B,\;C, \;D$ , o círculo de diâmetro $\;IE\;$ - círculo de Apolónio do triângulo $\;AHD\;$ ou do triângulo $\;BHC$ , mantém-se o mesmo para todos as amplitudes $\;\alpha\;$ ou para todos pontos $\;H\;$ .
Pode verificar isso, movendo o ponto verde da reta tracejada a verde que é o mesmo que fazer variar as amplitudes $;\alpha\;$ e observando que deslocando $\;H\;$ este percorre a circunferência de diâmetro fixo $\;IE\;$ que se mantém a mesma, já que $\;(A,D;I,E) =-1\;$ .
Assim, o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;A\hat{P}B = C\hat{P}D\;$ é a circunferência de Apolónio relativa a um triângulo $\;B\hat{H}C\;$ de que $\;HI\;$ é a bissetriz interna.

Podemos variar o ângulo

$\;\alpha\;$ e as posições de

$\;A\;$ ,

$\;B\;$ ,

$\;C\;$ e

$\;D\;$

2.4.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (16)

Problema: Por um ponto dado tirar uma reta a intersetar uma dada circunferência em pontos tais que as suas distâncias a uma reta dada têm uma dada soma.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

Dados (a azul): um segmento $\;s\;$ , um ponto $\; P\;$ , uma circunferência e centro $\;O\;$ e uma reta $\;a\;$
Tomemos uma reta que passe por $\;P\;$ e corte a circunferência $\;(O)\;$ em $\;A\;$ e $\;B\;$ . Na nossa figura, traçamos ainda as distâncias $\;AA'\;$ de $\;A\;$ a $\;a\;$ e $\;BB'\;$ de $\;B\;$ a $\;a\;$
Como veremos, a resolução do nosso problema resume-se a encontrar o ponto médio da corda definida pela reta a passar por $\;P\;$

© geometrias, 2 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra
Os pontos $\;A, \;B\;$ , colineares com $\;P\;$ que satisfazem o problema são tais que $\;AA'+BB'= s\;$ e para o ponto médio $\;M\;$ de $\;AB\;$ será então $\;2\times MM' =s\;$
Ou seja o ponto médio de $\;AB\;$ requerido estará à distância conhecida $\displaystyle \frac{s}{2}$ da reta $\;a\;$ : retas $\;a', \;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista )
As retas tiradas por $\;P\;$ que cortam a circunferência $\;(O)\;$ estão entre as retas $\;PT_1\;$ e $\;PT_2\;$ determinando cordas cujos pontos médios estão sobre a circunferência de diâmetro $\;PO\;$ . Uma delas contém o diâmetro e $\;O\hat{M}P\;$ é reto ou, como sabemos, $\;OM\;$ é mediatriz da corda $\;AB\;$ de $\;(O)\;$ . A existirem soluções para o problema, cada uma delas fica determinada pela construção do ponto médio da corda.
O ponto médio da corda $\;AB\;$ determinada por uma reta a passar por $\;P\;$ tal que $\;AA'+BB'= s\;$ é obtido como a interseção do arco $\;T_1T_2\;$ da circunferência de diâmetro $\;PO\;$ com a reta $\;a'\;$ ou $\;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista). Uma das soluções do problema, no caso da nossa construção, é a reta $\;PM\;$ . Outra solução será $\;PN\;$

Podemos variar o comprimento

$\;s\;$ e as posições de

$\;P\;$ ,

$\;a\;$ e

$\;(O)\;$ , verificar as condições de existência de soluções (0, 1 ou 2).

27.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)

Problema: Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor

$\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ , um segmento $\;d\;$ , uma circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;r\;$

Resolver este problema resume-se a determinar um ponto $\;P\;$ da reta $\;a\;$ de que se tire uma tangente $\;t\;$ a $\;(O, r)\;$ sendo $\;PT = d\;$ , em que T é o seu ponto de tangência.
Um ponto $\;P\;$ de $\;a\;$ que satisfaz as condições requeridas é vértice de um triângulo $\;PTO\;$ retângulo em $\;T\;$ em que os catetos são $\;PT=d\;$ e $\;TO = r\;$ conhecidos e a hipotenusa é $\;OP\;$
Para determinar $\;OP =h\;$ basta tomar o triângulo retângulo de catetos $\;r, \; d\;$ .

© geometrias, 27 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
E o ponto $\;P\;$ , se existir fica determinado pela interseção de $\;a\;$ com a circunferência $\;(O, h)\;$ , No caso da nossa figura ficam determinados dois pontos $\;P.\;Q\;$ : $\;PO = QO = h$ , sendo $\;h^2=r^2+d^2\;$
Os pontos $\;T\;$ de tangência encontarm-se na interseção de $\;(O, r)\;$ com a circunferência de diâmetro $\;OP=h\;$ (caso particular do 5º ou do 9º lugar geométrico da lista). Na nossa figura, para o ponto $\;P\;$ há duas tangentes $\;t_1\;$ e $\;t_2\;$ , para as quais $\;PT_1 = PT_2 = d\;$ , como queríamos.
Outras soluções, no nosso caso, são as tangentes a $\;(O, \;r)\;$ tiradas por $\;Q\;$

Podemos variar os comprimentos

$\;d\;$

$\;r\;$ e as posições relativas das circunferência e reta dados. Verificamos que a existência de soluções depende da relação entre o comprimento de

$\;d\;$ e as posições relativas de

$\;a\;$ e

$\;(O,r)\;$

10.1.11

Envolvente de círculos de Euler-Feuerbach

Sobre a circunferência de centro O tomam-se dois pontos fixos A e B e um ponto variável C. Determinar a envolvente dos círculos de Euler-Feuerbach do triângulo ABC

6.12.10

Ponto médio de um segmento de extremos sobre concorrentes

São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, os pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.

Claro que se tomarmos os pontos A' e B' do outro lado de AB, os seus pontos médios estão sobre a outra semirecta.

6.7.10

Circunferência dos 9 pontos como lugar geométrico

Do trabalho de Paul Yu, citado na entrada anterior, retivemos ainda uma outra pergunta:

Quando um ponto P percorre a circunferência circunscrita de um triângulo ABC de ortocentro H, onde está o ponto médio de PH?

A resposta é: quando P percorre a circunferência circunscrita, M percorre a circunferência de 9 pontos (dito, de outro modo, a circunferência de 9 pontos é o lugar geométrico dos pontos médios de PH).
Porquê?

15.1.18

10.9.16

7.9.16

8.8.16

29.7.16

2.1.16

15.12.15

6.2.15

23.1.15

16.1.15

4.12.14

1.12.14

30.4.14

8.4.14

6.4.14

2.4.14

27.3.14

10.1.11

6.12.10

6.7.10