Um exemplo de síntese num problema de construção cujos passos são sugeridos pela análise do problema
Problema: Construir uma circunferência tangente a três circunferências dadas pelos seus centros e respetivos raios $\;(A,a), \;(B,b), \;(C, c)\;$
15 abril 2018, Criado com GeoGebra
Transcrevemos a seguir uma adaptação do excerto de metodologia para a resolução de problemas de
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)-
Nota (45 de F.G-M.).Há problemas de construção geométrica para os quais basta o recurso a um só teorema para acedermos à solução. Mas para a maioria dos problemas, a resposta não depende de um só resultado já conhecido. E, por isso, para resolver um problema é necessário recorrer a uma sucessão de problemas mais simples. Já percorremos longos caminhos construtivos em que cada passo dado não é mais do que um apoio para o passo seguinte até termos conseguido a solução do problema originalmente proposto. Apresentamos a seguir um problema de construção que analisamos para descobrir a sequência de problemas que é necessário resolver por uma ordem que é a inversa da que vamos seguir quando apresentamos em síntese.
Problema 46: Construir uma circunferência tangente a três circunferências dadas pelos seus centros e respectivos raios $\;(A,a), \;(B,b), \;(C, c)\;$
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Problème
46. Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données $\;A, B, C\;$
Consideremos o problema resolvido, isto é, suponhamos que temos determinada uma circunferência $\;(D, d)\;$ que é tangente a cada uma das circunferências $\;(A, a),\; (B, b), \; (C, c)\;$ dadas pelos respectivos (centro, raio). Consideremos, por exemplo, que $\;(A, a)\;$ é a de menor raio das circunferências dadas: $\;a < b, \;a < c \;$
A distância entre centros de circunferências tangentes é igual à soma dos seus raios e, assim, $\;DA= d+a,\; DB=d+b,\; DC= d+c.\;$
Uma circunferência de centro em $\;D\;$ e raio $\;DA=d+a\;$ é tangente à circunferência de centro em $\;B\;$ e raio $\;DB-DA=d+b-(d+a)=b-a\;$ e também à circunferência de centro em $\;C\;$ e raio $\;DC-DA=d+c-(d+a)=c-a.\;$
Se existir, a circunferência $\;(D, AD)\:$ é tangente a $\;(B, b-a)\;$ e a $\;(C, c-a)\;$ e passa por $\;A.$
Consideremos a semelhança (homotetia) entre as circunferências $\;(B, b-a)\;$ e a $\;(C, c-a)\;$ e tiremos pelo centro $\;E\;$ da homotetia uma tangente $\;EFG\;$ comum às duas, sendo pontos de tangência $
\;F\;$ e $\;G,\;$ respetivamente de $
\;(B, b-a)\;$ e $\;(C, c-a).\;$
Por isso, podemos dizer que precisamos de resolver o seguinte
Problema 47: Construir uma circunferência que passa por um ponto $\;A\;$ e é tangente a duas circunferências dadas $\;(B,b-a),\; (C, c-a)\;$
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Problème
47. Décrire une circonférence qui passe par un point $\;A\;$ et qui soit tangente à deux circonférences données $\;(B, F)\;$ et $\;(C, G)\;$
A reta $\;EA\;$ intersectará a circunferência $\;(D,d)\;$ num ponto $\;H\;$ tal que $\;EA.EH=EF.EG,\;$ potência de $\;E\;$ relativamente à circunferência $\;(FGH)\;$ ou seja um ponto da circunferência $\;(D,d)\;$ fica determinado na intersecção de $\;EF\;$ com $\;(FGA).\;$
E o nosso problema depende da resolução do
Problema 48: Construir uma circunferência que passa por dois pontos $\;A,\; H\;$ dados e é tangente a uma das circunferências $\;(B, b-a)\;$ ou $\;(C, c-a)\;$ que se resume a construir uma circunferência que passe por três pontos dados $\;F,\;G, \;A.$
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Problème
48. Décrire une circonférence qui passe par deux points A, H donnés et qui soit tangente à une circonférence donnée
Ce troisième problème se ramène à ce quatrième : faire passer une circonférence par trois points donnés.
Nota (49a F.G.-M.) As indicações dadas são analíticas, desmontam o problema em vários, mas como cada resultado não é recíproco de nenhum dos outros, é preciso estudar cada um deles com cuidado, para não omitir alguma das soluções. Atente-se:
- Há uma só circunferência a passar por três pontos não colineares.
- Há duas circunferência a passar por dois pontos e tangente a uma outra circunferência.
- Há quatro circunferências a passar por um ponto e tangente a duas outras circunferências
- Há oito circunferências tangentes a três outras circunferências.
