Problema: No interior de uma semicircunferência de diâmetro
\;AB\; uma circunferência é tangente nos pontos médios do seu diâmetro e do arco da semicircunferência. Há dois círculos, coloridos na imagem, tangentes ás retas que unem A e B com os pontos de interseção da semicircunferência com as tangentes à circunferência, inscrita na semicircunferência, tiradas por
\;A\; e por
\;B.\; Construa geometricamente os círculos coloridos.
Clique no botão de mostrar e ocultar "Auxiliares" para tornar visiveis pontos e segmentos auxiliares e as designações que lhe foram atribuídas para acompanhar a descrição da construção e dos cálculos.
© geometrias, 20 de Setembro de
2014, Criado com GeoGebra
A figura inicial mostra: a semicircunferência e o seu diâmetro
\;AB\;, a preto; uma circunferência azul tangente aos pontos médios do diâmetro e do arco
\;AB\; da semicircunferência; quatro segmentos de reta, castanhos, obtidos como partes das tangentes à circunferência azul tiradas por
\;A, \;B \;, desde
\;A\; (ou
\,B\;) até à interseção da tangente com o arco da semicircunferência, e os outros dois unindo cada um destes pontos com
\;A\; ou com
\;B\;; dois círculos - um amarelo e outro verde - tangentes aos dois últimos segmentos e à circunferência azul nos pontos em que esta é tangente aos diâmetro e arco da semicircunferência.
A mediatriz de
\;AB\; é obviamente eixo de simetria da figura dada.
Desocultando as referências auxiliares,
- Temos o ponto \;M\; médio de \;AB\;, o segmento \;MN\; da perpendicular a \;AB\; tirada por \;M\; e o ponto \;O\; médio de \;MN\;, centro da circunferência azul que passa por \;M, \;N\;, pontos de tangência.
Designando o comprimento de \;AB\; por \;4r,\; \;AM = MB= MN =2r, \; e \;OM=ON = r, \; sendo o diâmetro \;AB\; da semicircunferência duplo do diâmetro \;MN\; da circunferência azul.
- Realçamos os pontos \;C\; e \;D\; de uma das tangentes a \;(O, OM)\; tiradas por \;A.\; A outra é \;AMB\; Como \;D, \;M\; são pontos de tangência, sabemos que \;AD =AM = 2r\; e como \;C\; é ponto da semicircunferência de diâmetro \;AB, \; o triângulo \;ABC\; é retângulo em \;C\; ou \;AC \perp CB\;
-
O segmento \;DO\; que, por ser o raio de \;(O)\; para o ponto \;D\; de tangência, é perpendicular à tangente \;AC.\; Realçamos o ponto \;E = DO.AB \;, sendo \;DE \perp AC \wedge DE \parallel BC\;.
- Assim são semelhantes os triângulos \;AED \sim ABC,\; respetivamente retângulos em \;D\; e \;C\;.
E, como é óbvio, também \;AED \sim EOM e \; EOM \sim BHM,\;, por ser \;\angle A\hat{E}D = \angle A\hat{B}C = \angle M\hat{E}O \; e \;\angle E\hat{D}A = \angle B\hat{C}A = \angle O\hat{M}E \;
\frac{AC}{AD} = \frac{CB}{DE}= \frac{AB}{AE}; \; \frac{AE}{OE}=\frac{AD}{OM}=\frac{DE}{ME}; \; \frac{BH}{OE} =\frac{BM}{ME} =\frac{HM}{OM}
A área do triângulo \; \Delta AED\; pode ser calculada:
2\Delta AED = AD\times DE = AD\times (DO+OE)= 2r \times (r+ OE) =2r^2 +2r.OE,
como triângulo de base \;AD\; e altura \;DE\; por ser retângulo em \;D,\; ou
2\Delta AED = 2\Delta AOD + 2\Delta AEO = AD\times DO + OM \times AE = AD\times DO + OM \times (AM+ME)= =2r \times r + r.(2r+ME)=2r^2+ 2r^2+r.ME = 4r^2 +r.ME,
como soma do triângulo \;ADO\; retângulo em \;D\; com triângulo \;AOE\; de base \;AE\; e altura \;OM.\;
2r^2 + 2r.OE = 4r^2 + r.ME \Longleftrightarrow 2r.OE= 2r^2+r.ME \Longleftrightarrow 2\times OE=2r + ME \Longleftrightarrow OE= r +\frac{ME}{2}
Como o triângulo \;EOM\; é retângulo em \;M,\; \;EO^2 = EM^2 + MO^2\; ou \left(r+\frac{ME}{2}\right)^2 = EM^2 +r^2,
\;r^2+\frac{ME^2}{4} +r \times ME=ME^2 +r^2 \Longleftrightarrow \frac{ME^2}{4} +r \times ME=ME^2 \Longleftrightarrow ME^2 +4r \times ME=4ME^2 \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow ME +4r =4\times ME \Longleftrightarrow 4r =3\times ME para, finalmente,
ME= \frac{4r}{3} =\frac{AB}{3}=\frac{2}{3} MN
- A construção do círculo amarelo é simples, já que ele está inscrito no triângulo isósceles \;AHB,\; com \;AH = HB\;. O centro do círculo amarelo é o incentro \;J\; de \;AHB\; na interseção das bissetrizes do triângulo: de \;A\hat{H}B\; (que é a mediatriz \;MH\; de \;AB\;) e do ângulo \;H\hat{A}, por exemplo. A circunferência amarela tem centro em \;J\; e passa por \;M\;$.
-
O círculo verde é homotético do círculo amarelo. Ambos são tangentes a \;AC, \;AC', \; (O, 2r)\;. Os pontos de tangência com \;(O, 2r)\; são \;M\;, para \;(J)\;, e \;N\;, para o círculo verde, permitem determinar a razão \;k\; da homotetia de centro \;H\; que transforma \;M\; em \;N\;
\;k = \frac{\overrightarrow{HM}}{\overrightarrow{HN}}
Como já vimos antes,
\;EOM \sim BHM\; e
\; \displaystyle \frac{BM}{ME} =\frac{HM}{OM}.\;
Sendo \;BM=2r, \;ME=\displaystyle\frac{4r}{3} \;\;\; e \;\;\; OM = r, \; obtemos
\frac{2r}{\displaystyle\frac{4r}{3}} = \frac{BH}{r}
ou BH = \frac{3r}{2}
e, em consequência, como MN= MH+HN = 2r, HN=\displaystyle\frac{r}{2} e
\frac{HN}{HM} = \frac{1}{3} \;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\; k=-\frac{1}{3}
Para determinar o centro \;K\; do círculo verde, bastará tomar \;\displaystyle \frac{MJ}{3}\; e transferi-lo para \;NK\;
Problema de construção, a partir de
A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University.
