A divisão harmónica por outra via

Tomando um triângulo rectângulo em P de hipotenusa AB. Seja C de [AB]. Para D sobre AB tal que PB é a bissectriz do ângulo DPC, (A,B,C,D) é um quaterno harmónico. Segue a construção dinâmica correspondente, em que pode deslocar P, mantendo ABC e vendo que D se mantém invariante. Também pode variar A, B e C e verificando que se mantêm as razões harmónicas.... com D determinado, usando PC como bissectriz de CPD.

O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes.
A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?



Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?