Triângulo rectângulo, quadrados, hexágono: e áreas

Problema:
Sobre os lados de um triângulo [ABC] rectângulo em Â, cujos lados do ângulo recto são b= (AC) e c=(AB), construímos, exteriormente ao nosso triângulo [ABC], os quadrados [ABNM], [BCQP], [ACRS].
Calcule a área do hexágono [MNPQRS] (em função de c e a)

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A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 28 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
E aqui fica a resolução de Mariana Sacchetti:

Interessante neste problema é verificar, tal como no problema anterior (em que o triângulo de partida é equilátero), que os triângulos da figura têm todos a mesma área.
Seja $\angle \alpha = A\hat{B}C \;$
Área de Δ $\;[ABC]\;$ = Área de Δ$\;[ASM]\;$ = $ \displaystyle \frac{b.c}{2} \; $
Área de Δ $\;[NBP]\;$= $\displaystyle\frac{a.c.sen(180° - \alpha)}{2} = $
$=\displaystyle\frac{a.c.sen(\alpha)}{2} = \displaystyle\frac{a.c.\displaystyle\frac{b}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Área de Δ $\;[CQR]\;$= $\displaystyle\frac{a.b.sen(90° + \alpha)}{2} = \displaystyle \frac{a.b.cos(\alpha)}{2} =\displaystyle\frac{a.b.\displaystyle\frac{c}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Assim, a área do hexágono [MNPQRS] é:
Área de $\;[MNPQRS] = 4 \times\frac{bc}{2} + a^2 +b^2 + c^2= 2bc+2a^2=2(bc+a^2)$ Como o enunciado pede, em função de c e a, aplicando o Teorema de Pitágoras
Área de $\;[MNPQRS] = 2(\sqrt{a^2-c^2} \times c + a^2)$

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

A divisão harmónica por outra via

Tomando um triângulo rectângulo em P de hipotenusa AB. Seja C de [AB]. Para D sobre AB tal que PB é a bissectriz do ângulo DPC, (A,B,C,D) é um quaterno harmónico. Segue a construção dinâmica correspondente, em que pode deslocar P, mantendo ABC e vendo que D se mantém invariante. Também pode variar A, B e C e verificando que se mantêm as razões harmónicas.... com D determinado, usando PC como bissectriz de CPD.

O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes. A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos A,U,.) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?

[A.A.F.]
Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?