Álgebra da involução

Sobre a involução, para finalizar, decidimos transcrever traduzidas algumas páginas de "Algèbre et Géométrie du Second Degrée" de Émile Borel. Muitas vezes, a álgebra ajuda a compreender melhor as construções geométricas e é, por isso, que fazemos esta transcrição (e homenagem!, diga-se)

24. Homografia e involução.

Estudámos em "La Géométrie et les Imaginaires" a transformação homográfica, ou seja, a relação entre duas variáveis tal que a cada valor de uma qualquer das duas variáveis corresponde um valor e um só da outra variável. Uma tal transformação é pois necessariamente linear em relação a cada uma das duas variáveis e pode ser escrita sob a forma:

(27)              a x x' + b x + b' x' + c = 0

A propriedade mais importante da transformação homográfica é a conservação da razão anarmónica, isto é, a razão anarmónica de quatro valores de x é igual à razão anarmónica dos quatro valores correspondentes de x'.
A equação (27) faz corresponder a cada ponto M de coordenadas x um ponto M' de coordenadas x'; mas esta transformação não é recíproca, ou seja, se designarmos por x as coordenadas de M', o valor x' correspondente não será a coordenada de M. Com efeito, se permutarmos x e x' em (27), obtemos:

(27')             a x x' + b x' + b' x + c = 0

e, subtraindo as duas equações (27) e (27') membro a membro, vem:

(28)             (b - b') (x - x') = 0

e, se supusermos x diferente de x', ou seja, x - x' diferente de 0, esta relação implica b = b'. Se esta relação se verifica, a transformação homográfica é dita "involução". Uma involução é, portanto, definida pela relação

(29)            a x x' + b (x + x') + c = 0

simétrica em x e x'. Os valores x e x' que verificam esta relação são ditos "pares" de pontos correspondentes da involução. Para que dois pontos estejam sobrepostos, ou seja, para que x = x' é necessário e suficiente que se tenha:

(30)             a x² + 2 b x + c = 0

isto é, que x seja um zero do trinómio       a x² + 2 b x + c.
Suponhamos em primeiro lugar que os seus zeros são distintos e reais e designemo-los por x₁ e x₂; ou seja, que temos

(31)              x₁+ x₂ = -2 b/a              x₁ x₂ = c/a

e, substituindo na equação (29) b e c pelos seus valores tirados de (31) e, dividindo por a, que não é nulo, a relação involutiva torna-se:

(32)             2 x x' - (x₁ + x₂) (x + x') + 2 x₁ x₂ = 0

o que pode escrever-se:

(33)              (x - x₁) (x' - x₂) + (x - x₂) (x - x₂) (x' - x₁) = 0.

Sejam M₁ e M₂ os pontos x₁ e x₂, M e M' os pontos x e x'; a relação (33) escrever-se-á:

(34)              MM₁ . M'M₂ + MM₂ . M'M₁ = 0

ou seja,

(35)              MM₁/MM₂ = - M'M₁/M'M₂.

Ela exprime que os pontos M e M' são conjugados harmónicos em relação aos pontos M₁ e M₂.
Se designarmos por O o ponto médio de [M₁M₂], sabe-se que temos:

(36)              OM . OM' = OM₁²

o ponto O é dito o "centro" da involução; ele corresponde ao ponto do infinito da recta.