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24.3.08

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência


Exercício interactivo


Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.







Ver artigos precedentes.

Hipérbole e homologia

O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.




Sejam L1 e L2 os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T1 a intersecção da tangente t1 com e e T2 a intersecção da tangente t2 com e. A paralela por T1 a OL1 e a paralela por T2 a OL2 são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.

A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.

8.6.07

Diâmetros conjugados segundo Apolónio

Teoremas de Apolónio:
  1. Numa elipse a soma dos quadrados de dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à soma dos quadrados dos dois semi-eixos: |AO|2 + |CO|2 = a2 + b2.
    Na construção que se segue, pode deslocar os pontos A, F2 e V1, confirmando esta afirmação.

  2. [A.A.F.]
  3. A área do paralelogramo construído sobre dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à área do rectângulo construído sobre os semi-eixos.
  4. Pode deslocar os pontos A, F e V1 para confirmar este resultado.

    [A.A.F.]
    O mesmo se passa com a hipérbole. Pode deslocar S, V1, O e F2 para confirmar o resultado.

    [A.A.F.]

2.4.07

Em busca da hipérbole III

Traçar uma hipérbole de que se conhece um ponto Q, uma assíntota a1 e as duas directrizes, d1 e d2.

30.3.07

Em busca da hipérbole II

Determinar uma hipérbole de que se conhecem dois ponto P e Q, uma direcção assíntótica a1 e a directriz d1.



Em busca da hipérbole I

Apresentadas algumas propriedades das hipérboles, é altura de procurarmos uma ou outra a partir de alguns elementos.

Determinar a hipérbole que passa pelo ponto P, admite a1 como assíntota e tem F1 como foco.




20.3.07

Hipérbole: assintotas e directrizes.

Há problemas referentes a hipérboles em que é necessário calcular a excentricidade (e = c/a) ou a distância das directrizes a O (d = a/e = a^2/c). Pode utilizar-se o processo clássico de recurso ao teorema de Thales (a/c = 1/e, e/a = 1/d, c/a = a/d), como se ilustra na figura que se segue.
Há, porém, relações entre os elementos da hipérbole que permitem obter de modo muito mais simples a posição de uma directriz.


[A.A.F.]


Pelo foco F2 tiremos tangentes ao círculo principal; os pontos de tangência T1 e T2 definem a directriz d2. De facto, no triângulo [OT1F2] temos:
|OT'|/|OT1| = |OT1|/|OF2| ou |OT'|/a = a/c ou |OT'| = a^2/c

T' é a intersecção da directriz com o eixo transverso.
Pela forma como foi feita a construção, conclui-se que uma directriz da hipérbole é a polar do respectivo foco relativamente ao círculo principal.






A recta OT2 é assíntota. Basta notar que os triângulos [OT'T2] e [OV2J] são semelhantes.




A distância de um ponto P da hipérbole a um foco é igual à distância de P à directriz correspondente a esse foco, lida numa paralela, que passe por P, a uma assíntota.



[A.A.F.]


Por P tracemos uma paralela à assíntota a1. Por definição de hipérbole é |PF2|/|PP'| = c/a ou a/|PP'|=c/|PF2|. Porque os triângulos [PP'Q] e [OCF2] são semelhantes, é |OC|/|PP'|=|OF2|/|PQ|=|CF2|/|P'Q| ou a/|PP'| = c/|PQ|. Verifica-se, portanto, que |PF2| = |PQ|.