Pontos duplos

Se numa involução houver um ponto M tal que |OM|² = k, diz-se que M é ponto duplo [ou que (M,M) é um par da involução]. Numa involução apenas pode haver 0 pontos duplos (elíptica) ou 2 pontos duplos (hiperbólica).
Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:

|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|² = |ON|² = k

Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:

(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.

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Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'e tiremos por O tangentes a essa circunferência, no caso OR e OS. Já sabemos que OR = OS e que OR.OS = OA.OA' =OR^2


[A.A.F.]
Onde está o outro ponto duplo?

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[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, R e S. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|²= |OA|*|OA'|= |OR|*|OR| e T é um ponto da circunferência (O, OR) e da reta r. T é, por isso, um dos pontos duplos da involução considerada. O ponto U será o outro ponto duplo, obviamente. Construímos as circunferências de centros em perpendiculares a r em T e U, tangentes em T e U, que verificamos se intersectam em pontos definidores de um eixo a passar por O, por escolhermos os seus raios maiores que OR]

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Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe RS tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma. No caso presente há dois pontos duplos; repare que pode tomar circunferências tangentes do mesmo lado de r concorrentes com um eixo como intersecção das duas que obviamente passa por O, como vimos.