Um quadrado, um ponto variável sobre um lado, um ângulo e sua invariância

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António Aurélio Fernandes passou por um problema no YouTube que por lá foi resolvido usando vetores e apresentou-o a si mesmo aqui a pensar numa demonstração mais elementar.

Enunciado:
No quadrado $\;[ABCD]\;$ toma-se um ponto $\;P\;$ qualquer sobre $\;BC.\;$ Por $\;A\;$ traça-se a semi reta $\;AP\;$ e, em seguida, por $\;C\;$ tira-se uma perpendicular a $\;AP\;$ que encontra a reta $\;AB\;$ em $\;Q.\;$
Provar que o ângulo em $\; \angle A\hat{Q}P\;$ se mantém constante quando $\;P\;$ toma diferentes posições em $\;[BC].\;$

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Seguir os passos da construção e demonstração
$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se o quadrado $\;[ABCD]\;$ e um ponto $\;P\;$ de $\;[BC].\;$

$\;\fbox{n=2}:\;$ Apresenta-se $\;\dot{A}P\;$ (diferente para cada $\;P\;$ de $\;[BC]\;$ e a perpendicular a $\;AP\;$ tirada por $\;C\;$ que interseta $\;\dot{A}B\;$ em $\;Q\;$

14 março 2018, Criado com GeoGebra

$\;\fbox{n=3}:\;$ Finalmente acrescentamos $\;[PQ]\;$ e o ângulo $\;B\hat{Q}P\;$ rotulado pelo seu valor (amplitude) em graus. Pode deslocar $\;P\;$ sobre $\;BC\;$ para verificar que o seu valor se mantém invariável e que quando $\;P = C, \;\; [AP] = [AC]\;$ é uma das diagonais do quadrado e, para esta posição de $\;P,\;$ a perpendicular a $\;AP\;$ tirada por $\;C\;$ é perpendicular a $\;AC\;$ em $\;C=P\;$ e, por isso, paralela a $\;BD,\;$ já que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Para esta posição de $\;P=C\;$ é bem óbvio que $\;AQP=AQC\;$ é um triângulo retângulo em $\;P=C\;$e isósceles, já que $\;CQ \perp AC \wedge AC=CQ =BD\;$ e $\;\angle C\hat{A}Q = \angle A\hat{Q}C \;$

$\;\fbox{n=4}:\;$ Acrescentamos as diagonais $\;CA, \;BD\;$

$\;\fbox{n=5}:\;$ A situação descrita acima para o caso de $\;P\;$ assumir a posição de $\;C\;$ é aplicável a qualquer $\;P\;$ de $\;BC,\;$ observando o quadrado de lado $\;BP\;$, $\;[BPEF], \; $ já que a sua diagonal $\;BE\;$ é um segmento da diagonal $\;BD\;$ de $\;[ABCD]\;$ e $\;PF \parallel CA\;$.

Inscrever numa circunferência dada um retângulo de área dada.

quatro pontos, um em cada lado de qual quadrado?

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Hoje vamos tratar de um outro tipo de problema de construção de quadrados, que nos tem aparecido repetidamente, a saber:

a construção de um quadrado do qual cada uma das retas dos seus lados passa por um só de quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados..

Para resolver este problema, é necessário olhar para as propriedades do quadrado. Tomem-se

• quatro retas
  • $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ sendo
    • $\;p \perp q, \;q\perp r, \;r\perp s, \;s\perp p,\;$
    • $p \parallel r, \; q \parallel s\;$
    • e igualmente distanciadas $\;p\;$ de $\;r\;$ e $\,q\;$ de $\;s\;$
  • e os quatro pontos
    • $P,\; Q,\;R, \;S, \,$
      • respetivamente $\;p.q, \;q.r, \; r.s,\;s.t,\;$
      • sendo, obviamente iguais os segmentos $\;PQ, \;QR, \;RS, \; SP.\;$ das retas $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ respetivamente.
  Sabemos que
  • se uma reta corta duas retas fazendo ângulos alternos internos iguais, cf (I.27), então estas retas são paralelas;
  • qualquer segmento com extremidades em duas retas paralelas, cf (I.29), fazem com elas ângulos alternos internos iguais;
  • segmentos de reta unindo extremidades de segmentos iguais e paralelos, cf (I.33), são iguais e paralelos;
  • …
  • E, em consequência, se cortarmos dois pares de retas paralelas igualmente distanciadas, por dois segmentos a fazer ângulos alternos internos iguais (cada um a cada um), esses segmentos são iguais.
  No caso do nosso problema não nos são dados mais que um ponto $\;A\;$ em $\;p, \;$ $\;B\;$ em $\;q, \;$ $\;C\;$ em $\;r\;$ e $\;D\;$ em $\;s.\;$
  Se tomarmos $\;AC\;$ a ligar pontos das paralelas $\;p\;$ e $\;r\;$ e o ponto $\;B\;$ de $\;q,\;$ qual deve ser a relação de um reta tirada por $\;B\;$ com $\;q, \;s,\; AC\;$ para intersectar $\;s\;$ de modo a ter os mesmos ângulos alternos internos ao cortar $\;q, \; s\;$ em ângulos iguais aos feitos por $\;AC\;$ ao cortar $\;p, \;r$?
  Bastará tirar por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC\;$ porque, designando por $\;I\;$ a intersecção das perpendiculares, $\; A\hat{P}B= B\hat{I}A = 1 reto, \;$ e, em consequência, $\;P\hat{B}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ bem como $\;Q\hat{A}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ ou seja, $\;Q\hat{A}I = P\hat{B}I.\;$
  De modo inteiramente análogo, se provaria que cada um dos ângulos feitos entre $\;AC, \;r\;$ era igual a um dos ângulos feitos pela perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\,$ com $\;s\;$.
  
  Se $\;BD\;$ não for perpendicular a $\;AC,\;$, na perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\;$ encontramos um segundo ponto $\;E\;$ de $\;s\;$ de que nos tinha sido dado $\;D.\;$ Este ponto $\;E\;$ é tal que $\;BE\perp AC\;$ e $\;BE =AC, \;$ por estes serem segmentos com extremidades em pares de retas igualmente distanciadas e paralelas, por fazerem com elas iguais ângulos alternos internos: $\;s=DE\;$
  Isto chega para resolver o nosso problema de construção.
  
  

  $\fbox{n=0}\;\;\;$

  Não conhecemos mais que os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados.

  
  
  Fazendo variar os valores de $\;\fbox{n}\;$ no cursor do topo à esquerda, pode seguir os passos da construção do quadrado.

  
  

  © geometrias.16 junho 2016, Criado com GeoGebra

  
  
  Peguemos na régua e no compasso.
  

  $\fbox{n=1}$	Tira-se por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC \;$ que, intersectada pela circunferência de centro $\;B\;$ e raio $\;AC\;$ determina um ponto $\;E\;$ da reta $\;s\;$ que contém o lado oposto ao lado $\;q\;$ que passa por $\;B.\;\;\;\; DE=s$
  $\fbox{n=2}$	Determinada a reta $\;s\;$ pode tirar por $\;A\;$ a perpendicular $\;p\;$ a ela e tomar a intersecção $\;p.s : \;\;\;S, \;$ vértice do quadrado. Do mesmo modo, a perpendicular a $\;s\;$ tirada por $\;C\;$ que designamos por $\;r\;$, sendo o vértice $\;R\;$ determinado por $\;r.s\;$
  $\fbox{n=3}$	Finalmente a perpendicular a $\;p\;$ (ou a $\;r\;$) tirada por $\;B\;$ que designamos por $\;q\;$ e que é a reta que faltava para a determinação por $\;p.q\;$ de $\;P\;$ e por $\;q.r\;$ de $\;Q.$
  $\fbox{n=4}$	Apresenta-se o quadrado $\;PQRS\;$ em que $\;A\in p, \; B\in q, \; C \in r, \; D \in s\;$

  
  Este problema tem muitas soluções, claro.

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  1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
     
  2. David Joyce. Euclide's Elements
  3. George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
  4. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
  5. Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.

Construção das circunferências do anjo com um pão

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Problema: Dados um quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;a\;$, arcos $\;(A, BD), \;(B, AC)\;$ e o semicírculo de diâmetro $\;CD\;$, determinar os centros e raios de dois círculos, um tangente aos três arcos e outro tangente a $\;CD\;$ e aos dois arcos $\;(A, BD), \;(B, AC)\;$
Para determinar os dois círculos, bastará determinar os raios dos círculos. Os seus centros estarão forçosamente no eixo de simetria da figura, isto é sobre a reta que liga os pontos médios $\;E\;$ de $\;CD\;$ e $\;F\;$ de $\;AB.\;$
Chamemos $\;O_1\;$ e $\;r_1\;$ aos centro e raio da maior circunferência (o pão?) e $\;O_2\;$ e $\;r_2\;$ aos centro e raio da circunferência menor (a cabeça do anjo?)
Clicando o botão no centro ao fundo verá os segmentos de reta auxiliares.
Toma-se o segmento de reta $\;EF\;$ que conterá $\;O_1, \;O_2\;$ e analisa-se o problema supondo que já está resolvido.

© geometrias, 7 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra

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1. $\;(O_1, r_1)?\;$ Esta circunferência é tangente internamente às circunferências
   • $\;(E, \; \displaystyle \frac{a}{2})\;$ e, por isso,
     • passa por $\;G,\;$ sua interseção com $\;EF\;$
     • $\;FO_1\; = FG+GO_1 = \displaystyle \frac{a}{2} + r_1$
   • $\;(A,\; a)\;$ e, por isso, $\;AO_1 = a-r_1, \;$, pois a distância entre centros de duas circunferências tangentes interiormente é igual ao valor absoluto da diferença dos seus raios
   • $\;(B,\; a)\;$ e, por isso, $\;BO_1 = a-r_1:\;$ ($\;AO_1=BO-1 =a-r_1\;)$
   Considerando o triângulo $\;[AFO_1],\;$ retângulo em $\;F\;$, cujos catetos são $\;AF = \displaystyle \frac{a}{2}\;$ e $\;FO_1= \displaystyle \frac{a}{2} + r_1, \;$ e cuja hipotenusa é $\;AO_1=a-r_1\;$, o teorema de Pitágoras estabelece $$\left( \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} + r_1\right)^2 = \left(a-r_1\right)^2$$ que dá o valor de $\;r_1\,$ em função do lado $\;a\;$ do quadrado: $$r_1 = \frac{a}{6}$$
2. $\;(O_2, r_2)?\;$ Esta circunferência é tangente a $\;CD\;$ no ponto $\;E\;$ e exteriormente às circunferências $\;(A, \; a)\;$ e $\;(B, \; a)\;$. As circunferências tangentes exteriormente têm centros distanciados um do outro $\;AO_2 =a+r_2.\;$.
   O Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $\;[AFO_2]\;$, retângulo em $\;F\;$ cujos catetos são $\;AFO_2 = \displaystyle \frac{a}{2}\;$ e $\;FO_2=a-r_2\;$ e cuja hipotenusa é $\;AO_2 = a+r_2\;$ garante que $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(a-r_2\right)^2 = \left( a+r_2\right)^2$$ que dá para $\;r_2\;$ um valor em função do lado $\;a\;$ do quadrado $$r_2 = \frac{a}{16}$$

Assim, a construção das circunferências fica feita se tomarmos o segmento $\;EF\;$ de comprimento $\;a\;$ e sobre ele tomarmos

• $\;O_1\;$ tal que $\;GO_1 =\displaystyle \frac{a}{6} =r_1\;$ - $\;(O_1, r_1)\;$ passa pelo ponto de interseção da semicircunferência de diâmetro $\;CD\;$ da figura
• $\;O_2\;$ tal que $\;EO_2 = \displaystyle\frac{a}{16} =r_2\;$ - $\;(O_2, r_2)\;$ passa por $\;E\;$

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sugerido em vários apontamentos feitos sobre "sangakus", asssim apresentadas em pt.wikipedia: tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas a pequenos santuários japoneses, como forma de agradecer aos deuses, provavelmente, a resolução de um problema matemático...

O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes. A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos A,U,.) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?

[A.A.F.]
Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?