GEOMETRIA

11.4.15

Retas tiradas de um ponto para um círculo: igualdade de áreas de retângulos (secantes) e quadrados (tangentes)

Da PROP. XXXVI. TEOR. (Livro III ) da anterior entrada

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por tôda a reta, que corta o círculo, e pela parte dela, que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente

é considerado n'Os Elementos' um corolário assim enunciado

Disto se segue que, se de um ponto qualquer A fora de um círculo se tirarem duas retas que cortem o círculo, os retângulos compreendidos pelas retas inteiras e pelas partes delas, que ficam entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, serão iguais entre si; isto é, será o retângulo das retas BA, AE igual ao retângulo das retas CA, AF. E a razão é porque cada um dêstes retângulos é igual ao quadrado da tangente AD

e o seu recíproco de que, a seguir, apresentamos enunciados e demonstração:

Livro III - PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo (Fig. 55.).
ou, de outro modo,
Do ponto D fora do círculo ABC estejam tiradas as duas retas DCA, DB, das quais DCA corte o círculo, e DB seja incidente sôbre a circunferência. Seja também o retângulo compreendido pelas retas AD, DC igual ao quadrado de DB. Digo que DB é tangente do círculo ABC no ponto B.

São dados uma circunferência azul um ponto $\;D\;$ a ela exterior, duas retas a passar por $\;D\;$ das quais uma corta a circunferência em $\;A\;$ e em $\;C\;$ e outra a incidir em $\;B\;$ ponto da circunferência dada. Mostram-se ainda o quadrado de lado $\;DB\;$ e o retângulo de lados iguais a $\;DA, \;DC\;$ que são iguais em área: $$DB^2=DA\times DC$$

Clicando sobre o botão □ Apoio da Prova poderá ver os elementos da figura usados na demonstração

O que se pretende demonstrar é que: Sendo $\;D\;$ um ponto exterior da circunferência e $\;B, \; A, \; C\;$ pontos da circunferência e $\; A, \;C, D\;$ sobre uma mesma reta, se se verificar que o quadrado de lado $\;DB\;$ for igual em área ao retângulo de de lados $\;DA, \;DC$, então $\;DB\;$ é tangente à circunferência.
Usando os processos descritos e demonstrados
em (1.3), determina-se o centro $\;F\;$
em (17.3), tire-se a reta $\;DE\;$ tangente à circunferência de que $\;E\;$ é o ponto de tangência
e tiramos as retas $\;FE, \;FB, \;FD\;$ (Post. I.1).
Como $\;DE\;$ é uma tangente, por (18.3), $\;FE \perp ED\;$ ou $\;\angle FÊD\;$ é reto.
Por (36.3), como $\;DE\;$ é tangente à circunferência e $\;DCA\;$ corta a mesma circunferência em $\;A, \;C,\;$ verifica-se que $\;DE^2 = DA \times DC\;$.
Ora, por hipótese, também $\;DB^2= DA\times DC, \;$ e, por isso, conclui-se que $\;DB = DE\;$.
Podemos concluir, por (8.1), que os triângulos $\;DEF, \;FBD\;$ têm uma base $\;FD\;$ comum, e dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, ( $\;FE=FB\;$ como raios da mesma circunferência, e, como vimos $\;DB = DE,\;$ ) e são iguais os ângulos $\;\angle F\hat{B}D, \; \angle D\hat{E}F\;$ compreendidos pelos lados iguais. Como já vimos, no início, o ângulo $\;\angle D\hat{E}F \;$ é reto e, por isso (ax.1), $\; \angle F\hat{B}D \;$ também é reto. Assim, a reta $\;FB\;$ é um diâmetro e a a reta $\;DB\;$ é tirada perpendicularmente por uma das extremidades do diâmetro sendo, por isso, uma reta que toca o círculo (16.3). Ou seja a reta $\;DB\;$ é tangente ao círculo. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
.......................................
Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.
PROP. XVIII. TEOR.
Se uma linha reta tocar um círculo, e do centro fôr tirada para o ponto de contacto outra reta, esta cairá perpendicularmente sôbre a tangente.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

4.4.15

Elementos: potência de um ponto (Livro III, PROP. XXXVI. TEOR.)

Temos vindo a escolher alguns resultados, construções e demonstrações, para dar uma ideia do conteúdo dos livros I, II que vamos continuar agora com o livro III e mais tarde com o livro IV. Pretende-se dar a ideia de cada livro pelo seu assunto, noções e forma de as introduzir, relação entre construções e demonstrações de Euclides, ao mesmo tempo que se constrói uma cadeia de resultados que são passos necessários para a inscrição de um pentágono equilátero e equiangular num dado círculo (do livro IV)
Do Livro III de "Os Elementos", que trata de círculos e sua relação com retas e derivados, destacamos um teorema e o seu recíproco cujas demonstrações assentam na igualdade de áreas entre figuras. Não fazendo todas as construções e demonstrações anteriores a esta, não deixamos de as referir. Alguns enunciados e notações continuam a ser os transcritos de "Os Elementos" que temos vindo a referir e que na forma, conteúdo e sequência é seguido.

Livro III - PROP. XXXVI. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por toda a reta que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente.
ou, de outro modo, Esteja o ponto $\;D\;$ fora do círculo $\;ABC\;$, e deste ponto $\;D\;$ estejam tiradas a reta $\;DCA\;$, que corte o círculo, e a reta $\;DB\;$, que o toque. Digo que o retângulo das retas $\;AD\;$, $\;DC\;$ é igual ao quadrado da tangente $\;DB\;$.
Podemos seguir os passos da nossa construção e demonstração, fazendo variar o valor de n no cursor $\;\fbox{n= …}\;$ ao centro na janela da figura dinâmica

$\fbox{n=1}\; — \;\;\;$São dados uma circunferência azul de que se determinou (1.3) o centro $\;E\;$ e um ponto $\;D\;$ exterior a ela

$\fbox{n=2}\; — \;\;\;$Toma-se a reta a passar por $\;D\;$ pelo centro $\;E\;$ do círculo azul dado e os pontos $\;A\;$ e $\;C\;$ de interseção da circunferência com a reta $\;ED\;$ construída. Começamos por apresentar o problema - PROP.XVII. PROB. - da construção da tangente a uma circunferência $\;(E, EA)\;$ tirada de um ponto $\;D\;$ a ela exterior, isto é, da determinação do ponto $\;B\;$ de tangência da tangente que passa por $\;D\;$.
Desenha-se a circunferência $\;(E, ED)\;$ e a perpendicular a $\;AD\;$ em $\;C\;$ que se intersetam em $\;F\;$. Traça-se a reta $\;FE\;$ que interseta $\;(E, EC)\;$ em $\;B\;$ que é o ponto que procuramos.
$\;FEC\;$ e $\;BED\;$ são congruentes ($FE = ED, \; EC = BE \; \angle FÊC=\angle BÊD$) comum e, por isso, o ângulo oposto a $\;FE\;$ de $\;FEC\;$ e o ângulo oposto a $\;ED\;$ de $\;BED\;$ são iguais. Sendo $\;CF\;$ perpendicular a $\;AD\;$ (por construção), terá de ser $\;BD\;$ perpendicular a $\;BE\;$ e $\;BD\;$ ser tangente a $\;(E, EC).\;$ □

$\fbox{n=3}\; — \;\;\;$

Como o triângulo $\;EBD\;$ é retângulo em $\;B\;$, por (47.1), sabemos que o quadrado de lado $\;EB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\; BD\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$EB^2+BD^2=ED^2$$
Por (6.2: PROP. VI. Liv II), já que $AE = EC$ o paralelogramo de lados iguais a $\;AD, \;DC\;$ acrescentado o quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$DA \times DC +BE^2 =ED2$$

Resumindo, o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;DB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ $$ED^2=DA \times DC +BE^2 =EB^2+BD^2$$ e, se removermos o quadrado de lado $\;BE\;$ da cada uma dessas duas figuras iguais em área, ficamos com os restos iguais, isto é:
o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;BD\;$ $$DA \times DC = BD^2$$ Assim fica provado este resultado para o caso da reta que passa por $\;D\;$ e $\; E\;$ cortando a circunferência em $\;A, \;C\;$ □

Variando os valores de n no cursor ao alto, pode ver passos da construção interessantes para seguir a demonstração.

$\fbox{n=4}\; — \;\;\;$ Consideremos agora o caso das retas $\;DCA\;$ que não passam pelo centro $\;E\;$ da circunferência.

$\fbox{n=5}\; — \;\;\;$ E, para cada uma dessas retas $\;DCA\;$, consideremos a corda $\;AC\;$ e a perpendicular a ela tirada por $\;E\;$ (12.1) que a corta em $\;F\;$ ao meio (3.3) - $\;AF=FC\;$. E tracemos as retas $\;EC\;$ e $\;ED\;$.
E sabemos que
a) $\;\;\;ED^2=DB^2 + EB^2,\;$ porque $\;DBE\;$ é um triângulo retângulo em $\;B \;$ (47.1)
b) $\;\;\;ED^2 =DB^2 + EC^2, \;$ porque $\;EB = EC\;$
c)$\;\;\;EF^2 + FC^2 = EC^2, \;$ porque o triângulo $\;EFC\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
d) $\;\;\;ED^2 = DF^2+FE^2, \;$ porque o triângulo $\;DFE\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
$\fbox{n=6}\; — \;\;\;$ Por ser $\;AF=FC\;$ e $\;DA =DC+CF+FA\;$, por (6.2)
$$DA\times DC + CF^2 = DF^2$$

Acrescentando o quadrado de $\;EF\;$ a ambas as figuras — uma constituída pelo paralelogramo $\;DA, DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;CF\;$ e a segunda que é o quadrado de lado $\;DF\;$ iguais em área - obtemos duas figuras iguais em área (ax. 2.1): $$DA\times DC + CF^2 +EF^2 = DF^2 +EF^2$$ ou, por c) e d) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 =DE^2 $$ ou, por b) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 = EC^2+DB^2$$ e removendo o quadrado de lado $\;EC\;$ às duas figuras iguais em área, ficamos com restos iguais em área — o paralelogramo $\;DA, DC\;$ e o quadrado de lado igual à tangente $\;DB\;$ (ax 3.1)— $$DA \times DC = DB^2$$ tal como pretendíamos. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.
AXIOMA III
E se de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
PROP. XLVII. TEOR.
Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto
.......................................
Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. III. TEOR.
Se dentro de um círculo uma linha reta, que passa pelo centro, cortar outra que não passa pelo centro, em duas partes iguais também a cortará perpendicularmente. E se a cortar perpendicularmente, também a cortará em duas partes iguais.
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

26.3.15

Elementos: álgebra geométrica (Prop. XI do Livro II)

Continuando:

Livro II - PROP. XI. PROB.
Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo de tôda e de uma parte seja igual ao quadrado da outra parte ou, de outro modo, Dado um segmento de reta $\;AB,\;$ determinar um ponto $\;H\;$ que o divide de tal modo que o retângulo de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;BH;$ seja igual em área ao quadrado de lado $\;AH\;$ $$AB \times BH = AH^2 ,$$
Passos da construção:

(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;AB\; - ACDB \;$
(10.1) - Determinamos $\;E\;$ que divide $\;AB\;$ em partes iguais na interseção de $\;AC\;$ com a reta definida pelos pontos de interseção das circunferências $\;(A, AC),\; (C, CA)\;$
(Post. 1.1) - Traçamos a reta $\;EB\;$
(3.1) Determinamos sobre a reta $\;AC\;$ o ponto $\;F\;$ de tal modo que $\;EF=EB\;$ um dos pontos de interseção de $\;AC\;$ com $\;(E, EB)\;$ (Post 3)
(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;AF\;$ para o lado de $\;B\;$ - $\; AFGH\;$ em que o vértice $\;H\;$ é um ponto de $\;AB\;$, entre $\;A\;$ e $\;B\;$
O ponto $\;H\;$ assim determinado por construção é o ponto que procuramos. Resta provar que o retângulo de lados $\;AB\;$ e $\;BH\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;AH\;$ - $\;AFGH\;$

Se precisar, clique nos botões "□ -mosta/oculta" para ver a construção e dar realce a figuras importantes na demonstração

Prova:

Porque $\;AC\;$ está dividida em duas partes iguais por $\;E\;$ que se prolonga em reta por $\;AF\;$, nas condições de (6.2), o retângulo $\;CFGK\;$ de lados $\;CF\;$ e $\;FA\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;EF.\;$
Como $\;EF=EB, \;$ o retângulo $\;CFGK\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ também é igual ao quadrado de lado $\;EB\;$
Como o ângulo $\;E\hat{B} A\;$ é ângulo do quadrado $\;ACDB\;$, reto, pelo Teorema de Pitágoras (47.1), o quadrado de lado $\;AB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ é igual ao quadrado de lado $\;EB\;$
Removendo o mesmo quadrado de lado $\;AE\;$ às duas figuras construídas iguais ao quadrado de lado $\;BE,\;$ ou de lado $\;EF\;$, ficamos a saber que o retângulo de lados $\;FC, \;FA=AH\;$ é igual ao quadrado de lado $\;AB\;$<\li>
O retângulo $\;FCKG\;$ é o retângulo $\;FC, \;FA\;$, por ser $\;AF=FG\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;AB\;$
Se removermos $\;ACKH\;$
- ao retângulo $\;FCKH\;$ sobra-nos o quadrado de lado $\;AH\;$
- ao quadrado $\;ACDB\;$ sobra-nos $\;HKDB,\;$ (de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;HB\;$)
Ou seja, como $\;FCKG\;$ e $\;ACDB\;$ são iguais em área, então os restos $\;FAHG\;$ e $\;HKDB\;$ são iguais em área. □

Fica assim provado que o ponto $\;H\;$ de $\;AB\;$ determinado conforme construção acima feita, divide $\;AB\;$ em duas partes $\;AH\;$ e $\;HB\;$ tais que o retângulo do todo por uma das partes é igual em área ao quadrado da outra parte: $$ AB \times HB = AH^2 $$ $$\mbox{ou}\;\;\;\frac{AB}{AH}=\frac{AH}{HB} \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; \frac{AH}{HB}=\frac{AB}{AH} $$

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

21.3.15

elementos: segundo exemplo de álgebra geométrica (Livro II, Prop. VI)

Na entrada anterior, apresentámos os passos sequenciais de uma construção feita a partir de um segmento de reta $\;AB,\;$ do seu ponto $\;C\;$ que o dividia em duas partes iguais e de um outro $\;D\;$ que o dividia em duas partes desiguais, para demonstrar que $$AD\times BD + CD^2 = BC^2$$ usando somente a igualdade de áreas e o método corta e cola. E continuamos com

Livro II - PROP. VI. TEOR.
Sendo uma reta $\;AB,\;$ e nela o ponto $\;C\;$ que divide o segmento $\;AB\;$ em duas partes iguais e um ponto $\;D\;$ tal que $\;AD = AB+BD,\;$ então $$AD \times BD + CB^2 = CD^2 ,$$ isto é, o retângulo de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;BD\;$ acrescentado do quadrado de lado igual a $\;CB\;$ é igual ao quadrado de lado igual a $\;CD \;$.

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Passos da construção e da prova

(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;CD,\;$ $CEFD \;$ e tiramos $\;DE\;$.
(31.1) -
- Por $\;B\;$ tiramos uma paralela a $\;CE\;$ ou a $\;DF\;$ -$\; BHG\;$ - em que $\;G\;$ e $\;H\;$ são pontos de $\;EF\;$ e de $\;DE,\;$ respetivamente.
- Em seguida, por $\;H\;$ tiramos uma paralela a $\;AD\;$ ou a $\;EF \;$ - $\;LHM\;$ - em que $\;L \;$ e $\;M\;$ são pontos de $\;CE\;$ e de $\;DF,\;$ respetivamente.
- e, finalmente, por $\;A\;$ tiramos uma paralela a $\;CL\;$ ou a $\; DM\;$ - $\;AK\;$ - sendo $\;K\;$ um ponto da reta $\;LM\;$
(36.1) - Por ser $\;AC=CB, \; AKLC\;$ e $\;CLHB\;$ são iguais em área (equivalentes)
(43.1) - $\;CLHC\;$ e $\;HGFM\;$ são iguais em área por serem complementos dos quadrados $\;BHMD\;$ e $\;LEGC\;$ na diagonal do quadrado $\;CEFD\;$. E assim $\;AKLC\;$ e $\;HGFM\;$ são iguais em área o que nos permite concluir que $\; AKMD\;$ é igual em área ao gnomon $\;CLHGFD\;$
(Cor 4.2.) - $\;DM=DB\;$ e, por isso, $\;AKMD\;$ de lados $\;AD\;$ e $\;MD \;$ é um retângulo de lados iguais a $\;AD\;$ e $\;DB\;$
O retângulo de lados $\;AD, DB\;$ - $\;AKMD \;$- acrescentado do quadrado de lado $\;BC \;$- $\;LEGH\;$ - é igual em área ao gonomon $\;CMG\;$ - $\;CLHGFD\;$ - acrescentado do quadrado de lado igual a $\;BC\;$ - $\;LEGH,\;$ e por isso, obviamente iguais em área ao quadrado $\;CEFG \;$ de lado igual a $\;BC\;$ □

Livro I
PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
PROP. XXXVI. TEOR.
Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, saão iguais
PROP. XLIII. TEOR.
Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si
.......................................
Livro II
PROP.IV. PROB
Se uma reta fôr cortada em duas partes quaisquer, será o quadrado da tôda igual aos quadrados das partes, juntamente com o retângulo das mesmas partes tomados duas vezes.
COROL.
Disto se segue que os paralelogramos, que existem na diagonal de um quadrado são também quadrados.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

18.3.15

Um primeiro exemplo de proposição de álgebra geométrica, usando áreas (o corta e cola)

No Livro II de "Os Elementos", apresentam-se resultados que estabelecem aparentes relações algébricas (álgebra geométrica), recorrendo somente à noção de igualdade (equivalência) de áreas (conteúdos) e às operações de que já descrevemos a base axiomática e a que chamamos de "corta e cola" (acrescentar ou remover figuras a outras figuras). Para além dos exemplos do Livro I, - Prop. XXXV, XXXVII, XLVII, XLVIII - já abordados (enunciados e demonstrações transcritas) incluindo construções dinâmicas de apoio a partir das originais, vamos agora tomar um ou outro exemplo do Livro II para serem usados mais adiante em construções exemplares da forma genial como Euclides elaborou o seu pensamento geométrico. Vamos passar a usar expressões algébricas, como poderíamos ter usado no Teorema de Pitágoras das últimas entradas, $$\;BC^2= AC^2 + AB^2\;$$ em vez de escrever que, de um triângulo $\;ABC\;$ retângulo em $\;A\;$, o quadrado de lado $\;BC\;$ (oposto a $\;Â\;$) é equivalente à soma dos quadrados de lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$.

PROP. V. TEOR. Livro II
Se $\;AB\;$ for dividido em duas partes iguais por $\;C\;$ e em duas partes desiguais por $\;D\;$, o retângulo de lados $\;AD, BD\;$ acrescentado ao quadrado de lado $\;CD\;$ e igual ao quadrado de lado $\;BC\;$ - metade de $\;AB\;$.
$$AD\times BD + CD^2 = BC^2$$

Se precisar, clique nos botões "□ -mostar/ocultar" para ver realce de figuras importantes na demonstração

Passos da construção e demonstração:

Usando a PROP. XLVI PROB. do Livro I (36.1), construímos o quadrado de lado $\;BC\;$ - $\;[BCEF]\;$
Usando o Postulado I, tiramos a reta $\;BE\;$
Usando (31.1),
- por $\;D\;$ tiramos uma paralela a $\;CE\;$ (ou a $\;BF\;$) que interseta $\;BE\;$ em $\;H\;$ e $\;EF\;$ em $\;G\;$;
- por $\;H\;$ tiramos uma paralela a $\;CB\;$ (ou $\;EF\;$) que interseta $\;CE\;$ em $\;L\;$ e $\;BF\;$ em $\;M\;$;
- por $\;A\;$ tiramos uma paralela a $\;CL\;$ (ou a $\;BM\;$ que interseta a reta $\;LM\;$ em $\;K\;$
Por (43.1), Os paralelogramos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ são iguais em conteúdo (ou área) por serem complementos no paralelogramo quadrado $\;[BCEF]\;$ dos dois paralelogramos (quadrados) $\;[BDHM], \; [CHLE]\;$ que existem ao longo da diagonal $\;BE\;$
Se acrescentarmos a cada um dos complementos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ iguais em área, o mesmo $\;[DHMB]\;$ obtemos dois retângulos $\;[BCLM], \;[BDGF]\;$ iguais em área
Por (36.1), os paralelogramos (retângulos) $\;[CAKL]\;$ e $\;[BCLM]\;$ que têm bases iguais - $\;AC=CB|, \;$ por hipótese - e estão entre as mesmas paralelas - $\;AB \parallel KM. \;$ por construção, - são iguais em conteúdo (em área);
Sendo $\;[AKLC],\; [CLMB]\;$ iguais em área e, como antes tínhamos visto, $\; [CLMB]\;$ é igual em área a $\;[BDGF],\;$ então temos $\;[AKLC],\;[BDGF]\;$ iguais em área.
Podemos concluir que o quadrado de lado $\;BC,\; \;[BCEF]\;$ é igual em área ao gnomon (ver definição 2.2 abaixo) $\;[CMG] = [BCLHGFM]\;$ acrescentado de $\;[HLEG],\;$ quadrado de lado igual a $\;CD\;$
ou ao retângulo $\;[AKHD]\;$ acrescentado do mesmo quadrado de lado $\;CD\;$, já que o gnomon referido é $\;[GDGFB]\;$ (ou $\;[AKHD]\;$ igual em área) acrescentado de $\;[CLHD]\;$ □

$$AD \times DB +CD^2 = CB^2$$

Livro I
PROP. XLVI. PROB.
Sôbre uma linha reta dada descrever um quadado
PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
PROP. XXXVI. TEOR.
Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, são iguais
PROP. XLIII. TEOR.
Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si
PROP. XLI. TEOR.
Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo será o dôbro do triângulo
................................
Livro II
DEFINIÇÕES:
I
Todo o paralelogramo retângulo se considera compreendido por duas linhas retas, que formam o ângulo reto.
II
Em todo o paralelogramo $\;[BCEF]\;$ a figura $\;[BCLHGFB],\;$ que resulta de um paralelogramo daqueles (por exemplo, o de diagonal $\;BH\;$), que existem na diagonal $\;BE\;$ do paralelogramo maior, juntamente com os dois complementos (de diagonais $\;CH\;$ e $\;HF\;$, chama-se gnômon. Dêste modo o paralelogramo $\;HB ,\;$ juntamente com os complementos, $\;CH, \;HF\;$ fazem o gnômon que por brevidade, nota-se com as letras $\;CMG,\;$ ou $\;LDC,\;$ que estão postas nos vértices dos ângulos opostos dos paralelogramos, que formam o gnômon.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

5.3.15

Elementos: O recíproco do Teorema de Pitágoras (por Euclides)

Transcrevemos ainda de "Os Elementos" o enunciado e demonstração do recíproco do Teorema de Pitágoras, última proposição do Livro I. Muitas discussões sobre a introdução (ou não) em aulas do ensino básico acabaram sempre (ou quase) em derrotas de quem tal defendia. A derrota sente-se logo ao apresentar oralmente a demonstração que naturalmente utiliza vários resultados anteriormente provados, incluíndo o mais próximo teorema da sequência (o próprio teorema de Pitágoras).

RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

PROP. XLVIII. TEOR.
Se o quadrado feito sôbre um lado de um triângulo fôr igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por êstes dois lados será reto .

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o quadrado feito sôbre o lado BC do triângulo ABC igual aos quadrados feitos sôbre os lados BA, AC. Digo que o ângulo BAC é reto.

Levante-se do ponto A sôbre AC a perpendicular AD (_*Pr. 11.1.), e ponha- se AD = BA, e tire-se DC. Sendo DA = AB, será o quadrado sôbre DA igual ao quadrado sôbre AB. Ajunte_se-lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão iguais aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é igual aos quadrados de DA, AC, por ser o ângulo DAC reto (_**Pr. 47.1. ), e o quadrado de BC se supõe igual aos quadrados de BA, AC. Logo, o quadrado de DC será igual ao quadrado de BC. Logo, será DC = CB. Sendo pois DA = AB, e AC comum, as duas DA, AC serão iguais às duas BA, AC. Mas é a base DC = BC outra base. Logo, será o ângulo DAC = BAC (_***Pr. 8.1.). Mas o ângulo DAC é reto. Logo, também o ângulo BAC será reto. □

^*PROP. XI. PROB. De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sôbre a mesma reta dada. ^**PROP. XLVII. TEOR. Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto ^***PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também são iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

27.2.15

Elementos: Teorema de Pitágoras.

Optamos por escolher alguns exemplos de enunciados e demonstrações de #"Os Elementos" para ilustrar o que Euclides tinha em mente quando usava a palavra igualdade associada à construção de conceitos diferentes. Temos andado a abordar resultados relacionados com áreas de figuras planas, apresentando resultados muito conhecidos (por enunciados atuais), mas transcritos do original para perceber como era ao tempo da génese das noções de geometria escrita.

TEOREMA DE PITÁGORAS

PROP. XLVII. TEOR.
Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto .

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto seja BAC. Digo que o quadrado feito sôbre o lado BC é igual aos quadrados descritos sôbre os lados BA, AC, que formam o ângulo reto BAC.
Descreva-se sôbre BC o quadrado BDEC (Pr. 46.1.^*), e sôbre BA, AC os quadrados GB, HC. Pelo ponto A tire-se AL, paralela (Pr. 31.1. ^**) a BD, ou CE, tirem-se também as retas AD, FC. Porque os ângulos BAC, BAG são retos (Def. 30. ^***), as duas retas CA, AG estão em direitura uma com outra (Pr. 14.1. ^****). O mesmo será a respeito das duas AB, AH. Os ângulos DBC, FBA, por serem retos, são iguais. Ajunte-se-lhes o mesmo ângulo ABC. Logo, o total DBA será igual ao total FBC (Ax. 2.^*****). E sendo as duas AB, BD iguais às duas FB, BC, cada uma a cada uma, e o ângulo DBA = FBC, será o triângulo ABD = FBC outro triângulo (Pr. 4.1.^******). Mas o paralelogramo BL é o dôbro (Pr. 41.1.^*******) do triângulo ABD, porque está sôbre a mesma base BD, e entre as mesmas paralelas BD, AL; e o quadrado GB é o dôbro do triângulo FBC, porque tem a base comum FB, e estão q as mesmas paralelas FB, GC. Logo, sendo iguais os dobros de quantidades iguais (Ax. 6.^********), deve ser o paralelogramo BL igual ao quadrado GB. Do mesmo modo, tiradas as retas AE, BK, se demonstra, que o paralelogramo CL é igual ao quadrado HC. Logo, o quadrado inteiro BDEC, feito sôbre o lado BC oposto ao ângulo reto BAC, é igual aos dois quadrados GB, HC formados sôbre os lados BA, AC, que fazem o mesmo ângulo reto BAC. □

^*PROP XLVI.PROB. Sôbre uma linha reta dada descrever um quadrado ^**PROP. XXXI. PROB. De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada ^*** DEFINIÇÃO XXX. Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente equilátero e retângulo ^**** PROP.XIV. TEOR. Se em um ponto de uma linha reta qualquer concorrerem de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta os ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra. ^***** AXIOMA II Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais. ^****** PROP. IV. TEOREMA. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e os ângulos, compreendidos por êstes lados, forem também iguais; as bases e os triângulos, e os mais ângulos, que são opostos a lados iguais, serão também iguais. ^*******PROP. XLI. TEOR. Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sobre a mesma base, e enre as mesmas paralelas, o paralelogramo será o dobro do triângulo. ^********AXIOMA VI As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra quantidade, são iguais.

Nota: Dedicadas ao Teorema de Pitágoras, há mais 50 entradas com diferentes enunciados, construções, demonstrações, aplicações, ... publicadas neste Lugar Geométrico.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
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22.2.15

Elementos: igualdade de "conteúdos" de triângulos.

Transcrevemos do Livro I de "Os Elementos"¹ o enunciado e demonstração da proposição Pr. 37.1 que trata da igualdade de dois triângulos, no mesmo sentido da Pr. 35.1, apresentado para paralelogramos na entrada anterior. Estes resultados que tratam de apresentar condições em que duas figuras são iguais ("em área ou conteúdo") usando o método de "corta e cola" - remover e juntar figuras de ou a outras figuras - processo puramente geométrico.

PROP. XXXVII. TEOR.

Os triângulos, que estão postos sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Os triângulos ABC, DBC, estejam postos sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas AD, BC. Digo que os triângulos ABC, DBC são iguais.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se BE paralela a CA, e pelo ponto C tire-se CF paralela a BD (Pr. 31.1.^*). Logo, EBCA, DBCF serão dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são iguais (Pr. 35. 1.^**), por estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, EF; e o triângulo ABC é a metade (Pr. 34.1.^***) do paralelogramo EBCA, que fica dividido em duas partes iguais pela diagonal AB, como também o triângulo DBC é a metade do paralelogramo DBCF, que é dividido em duas partes iguais pela diagonal DC. Logo, será o triângulo ABC = DBC, outro triângulo, porque as metades de quantidades iguais são também iguais (Ax. 7.^****). □

^*PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada ^**PROP. XXXV TEOR.
Os paralelogramos que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais. ^***PROP. XXXIV TEOR.
Os lados e os ângulos opostos dos espaços formados com linhas paralelas, ou paralelogramos, são iguais; e todo o espaço paralelogramo, fica dividido pela diagonal em duas partes iguais ^****AXIOMA VII VII. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais..

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
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17.2.15

Igualdade n'Os Elementos de Euclides - contexto e não definido

É verdade que partimos para as demonstrações de proposições em geometria (euclidiana), referidos a DEFINIÇÕES (I - XXXV), POSTULADOS (I -III) e AXIOMAS (I - XII), mas assumindo noções nossas, aparentemente intuitivas e construídas pela nossa instrução escolar. Nos resultados que vamos estudar em futuras entradas com construções (ou antes, demonstrações construtivas com régua e compasso), precisamos de nos aproximar de novo, em detalhe,de "Os Elementos" 1 e de quem os interpreta. Em que medida é que elas correspondem ao que Euclides tinha em mente ou ao que se encontra nos Elementos?

Tomemos para exemplo, o enunciado da
Proposição XXXV
transcrito do primeiro livro dos "Elementos" ¹ - (Pr. 35.1) :

Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais

e da sua demonstração (também transcrita de "Os Elementos" ¹):

Sejam os paralelogramos ABCD, EBCF sôbre a mesma base BC (Fig. acima), entre as mesmas paralelas AF, BC. Digo que o paralelogramo ABCD é igual ao paralelogramo EBCF.
Se os lados AD, DF (figura acima) dos paralelogramos ABCD, DBCF oposto à base comum BC tiverem um têrmo comum D (pode na figura deslocar E até coincidir com D); claro está que, sendo os paralelogramos ABCD, DBCF cada um o dôbro do mesmo triângulo BDC (Pr. 34.1.), serão iguais entre si.
Mas os lados AD, EF (Fig. acima em que pode deslocar E para ficar entre A e D, etc) não sejam terminados no mesmo ponto. No paralelogramo ABCD é AD = BC (Pr. 34.1. ), e no paralelogramo EBCF é EF = BC. Logo, será AD = EF (Ax. 1.). Ajunte-se a mesma reta DE, ou tire-se. Será AE = DF, isto é, o todo igual ao todo, ou o resto igual ao resto (Ax. 2 e 3). Mas é AB = DC. Logo, as duas EA, AB são iguais às duas FD, DC, cada uma a cada uma. Mas o ângulo externo FDC é igual (Pr. 29. 2.) ao interno EAB. Será o triângulo EAB = FDC outro triângulo (Pr. 4.1.). Do trapézio ABCF tire-se o triângulo FDC; e do mesmo trapézio ABCF tire-se o triângulo EAB. Logo, os paralelogramos ABCD, EBCE, que são os restos, serão iguais (Ax. 3) entre si.□

Ao ler o enunciado em que se fala de paralelogramos iguais nas condições de estarem sobre uma mesma base e estarem compreendidos entre as mesmas paralelas, remetemos sempre para áreas dos paralelogramos, apesar de não haver nomeação específica do que se esteja a tratar. As palavras igual, iguais, igualdade, ... aparecem em cenários diferentes no enunciado e na demonstração. Quando refere ângulo iguais ou segmentos iguais ou triângulos iguais paralelogramos iguais pode estar levar-nos a noções (não definidas ou não nomeadas) tão diferentes como amplitude de ângulo, comprimento, área,… congruência,… equivalência. Na proposição (Pr. 4.1.), referida na demonstração, Euclides utiliza expressões como sobrepor, ajustar, coincidir (ou sinónimas) para justificar a igualdade (geométrica) de dois triângulos, por exemplo. Na demonstração desta Proposição XXXV utiliza juntar, acrescentar a uma figura outra figura sem sobreposições para obter uma figura maior ou remover parte de uma figura para obter outra menor.... Significa isto que Euclides usou a palavra "igualdade" (e "desigualdade") a verificar certas propriedades (axiomas e noções comuns) para definir relações de equivalência. Contextos diferentes referem-se a noções diferentes: Dois segmentos iguais representam um mesmo comprimento, dois ângulos iguais representam uma mesma amplitude, .... paralelogramos sobre uma mesma base e compreendidos entre as mesma paralelas representam uma mesma área... No caso em estudo, as propriedades das relações (que é o que importa) que Euclides utiliza são, adaptadas grosseira e livremente de Robin Hartshorne ²:

Duas figuras iguais (congruentes, geometricamente iguais) têm igual conteúdo (mesma área)

Se cada uma de duas figuras tem igual conteúdo de uma terceira, têm igual conteúdo

Se pares de figuras com igual conteúdo são acrescentadas (adicionadas) com uma terceira (no sentido de serem juntas sem sobreposições para construir figuras maiores) então as figuras assim obtidas têm igual conteúdo.

A igualdade de conteúdo da diferença (por remoção) não depende de onde sejam removidas partes de igual conteúdo.

Metades de figuras de igual conteúdo têm igual conteúdo (duplicar duas figuras de igual conteúdo produz figuras de igual conteúdo)

Uma figura é sempre maior que uma das suas partes, o que significa que se uma figura é parte própria de outra, então a parte e o todo não podem ter igual conteúdo

que seguem os enunciados dos axiomas, como se pode ver pela transcrição ¹ abaixo.

AXIOMAS I. As cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si.
II. Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais..
III. E sé de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais. .
IV. E se a cousas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão desiguais..
V. E se de, cousas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão desiguais..
VI. As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra quantidade, são iguais..
VII. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais..
VIII.Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra; são iguais..
IX. O todo é maior do que qualquer das suas partes..
(...)

A demonstração mais bela do teorema de Pitágoras usa este resultado e a noção não definida (área, não gostamos de igual conteúdo) aqui apresentada.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

6.2.15

espiral: lituus

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira aborda uma espiral conhecido por Lituus que é o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante a área dos setores circulares $\;P_0OP\;$ sendo $\;O\;$ um ponto fixo e centro da circunferência de raio $\;OP_0 = OP\;$ e os diferentes ângulos $\;\alpha = P_0\hat{O}P\;$ têm por primeiro lado uma semi-reta dada de extremo em $\;O\;$, onde incidem todos os pontos $\;P_0\;$.
Como sabemos, para cada $\;P\;$, um círculo de de raio $\;OP \;$ tem área $\;2\pi \times OP^2 \;$ e um seu setor circular correspondente a um ângulo ao centro $\;P_0\hat{O}P\;=\;\alpha \;$ radianos, tem por área $\;\alpha \times OP^2 .\;$.

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\left\{\;P: \;OP^2\times \alpha= a^2\;\right\}$$ em que são dados $\;O, \; a\;$. No caso da nossa construção, tomámos $\;a=2,5\;$ e $\;\alpha\;$ a percorrer os valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. \;$
Para cada valor de $\;a\;$, um ponto $\;P\;$ do nosso lugar geométrico "Lituus" fica definido em função de $\;O,\;$ dado, e de ângulo $\;\alpha\;$ medido a partir de dada semi-reta com extremidade em $\;O\;$: $$ OP^2 \times \alpha = a^2 \Leftrightarrow OP = \frac{a}{\sqrt{\alpha}}$$ Na figura estão assinalados os pontos $\;A, \;B,\;C, \;D:\;$

$A_0\hat{O}A=\frac{\pi}{2}\;$ e $\;OA=a\times \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
$B_0\hat{O}B=\pi\;$ e $\;OB=a\times \sqrt{\frac{1}{\pi}}$
$C_0\hat{O}C=\frac{3\pi}{2}\;$ e $\;OACa\times \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$
$D_0\hat{O}D=2\pi\;$ e $\;OD=a\times \sqrt{\frac{1}{2\pi}}$
$$\forall L\in \mathbb{R}^+, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ : [\alpha<\delta \Rightarrow OP>L ] \wedge [\alpha >L \Rightarrow OP<\delta] $$

iFrancisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

23.1.15

Espiral de Fermat

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;Q\;$ existe um ângulo $\;\theta\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$):

: $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
$\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$

Cada ponto $\;R\;$ é obtido por rotação em torno de $\;A\;$ e ângulo $\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente $\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que $\;R\;$ é obtido como imagem de $\;Q\;$ por meia volta de centro em $\;A\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$$ e $$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

16.1.15

Espiral de Arquimedes

A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ de uma semi-reta $\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto $\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de $\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;P\;$ existe um ângulo $\;\alpha\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$):

: $\; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;$
$\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

13.1.15

Curvas como lugares geométricos (memória)

curvas como lugares geométricos, ....

Em 2009, publicámos construções dinâmicas de curvas como lugares geométricas apresentadas nas vol IV das Obras sobre Mathemática de Francisco Gomes Teixeira, mais propriamente no Tomo I de "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" que existe na Biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão, em Aveiro. Foram elas, as seguintes:

Folium Parabólico [16/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/folium-parab.html
Conchóide de Sluse I [20/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse.html
Conchóide de Sluse II [30/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse-ii.html
Primeira cissóide [1/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/primeira-ciss.html
Segunda cissóide [4/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/segunda-ciss.html
Terceira cissóide [8/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/terceira-ciss.html
Quarta cissóide [9/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quarta-ciss.html
Quinta cissóide [11/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quita-ciss.html
Cissóide e sua inversa [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/cissoide-e-sua-inversa.html
Inversa da cissóide de Diócles [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/inversa-da-ciss-de-di.html
A cissóide de Diócles e a parábola [19/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss-de-diocles-e-par.html
Conchóide de Nicomedes [20/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/conch-de-nicomedes.html
Cissóides? [27/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss.html
Oval de Descartes [1/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/oval-de-descartes.html
As espíricas, as lemniscatas [4/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/as-esp-as-lemniscatas.html
Estrofóide? [7/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/estrof.html

Nas próximas entradas, retomamos (ou tentamos retomar) as construções de curvas como lugares geométricos, agora do tomo II do Tratado. Começamos com as espirais.

11.1.15

regressar ao futuro

GeoGebra Folha Gráfica Dinâmica

DEVAGAR DO PASSADO ATÉ AO FUTURO

28.12.14

o décimo aniversário do GEOMETRIAS e a evolução regular da teia.

DEZANOS

10 ANOS DE GEOMETRIAS.BLOGSPOT.PT

27.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão

Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,$\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$, considerando que a distância de um ponto $\;P\;$ a a uma circunferência $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
$\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
$\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

tendo concluído que os pontos $\;P\;$ equidistantes das duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a condição: Os pontos $\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a $$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.

António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.

É óbvio que $\;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\;$ e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.

Mas para o ponto $\;S\;$ da hipérbole, é óbvio que $\;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\;$ e, por isso, $\;S\;$ não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto $\;K\;$ de $\;(O_1, \; r_1)\;$ e um ponto $\;Z\;$ de $\;(O_2, \; r_2)\;$ tais que $\; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \;$ e $$\;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\;$$ e que é por isso que $\;S\;$ é um ponto da hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$

Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto $\;X\;$ é equidistante das duas circunferências sempre que existirem $\; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\;$ tais que $\;XX_1= XX_2\;$

Sabemos que a hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;P\:$ tais que $$\;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|,$$ sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.

17.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferências dadas.

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ .

Sabemos que a distância de um ponto $\;P\;$ a uma circunferência $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
$\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
$\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

Os pontos $\;P\;$ equidistantes de duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfarão as seguintes condições:

Os pontos $\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a $$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$
Os pontos $\;P\;$ exteriores a $\;(O_1, \;r_1)\;$ e interiores a $\;(O_2, \; r_2)\;$ delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1 P - r_1 =r_2 - O_2P\;$ equivalente a $$ O_1P + O_2P = r_1+ r_2$$ ou pontos de uma elipse de focos $\;O_1, \;O_2\;$ e eixo maior de comprimento $\;r_1+r_2\;$.
Como é óbvio, os pontos interiores a $\;(O_1, \;r_1)\;$ e exteriores a $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a mesma condição.
Os pontos interiores a ambas as circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;r_1 - O_1P =r_2 - O_2P\;$ equivalente a $$O_1 P-O_2P = r_1-r_2 \; \mbox{ou} \; O_2P - O_1P = r_2-r_1 $$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \;O_2\;$ e segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 -r_2|\;$

Na construção que apresentamos a seguir, tomamos duas circunferências de raios (6 e 2) diferentes, sendo os centros pontos livres no plano. pretendemos ilustrar o que atrás concluímos e não percorrer exaustivamente todos os casos que diferentes situações relativas das circunferências ou a comparação entre os raios (por exemplo não tomamos circunferências de raios iguais).

Ao alto da construção temos dois segmentos: $\;AB = r_1 + r_2\;$ e outro $\;EF = |r_1 - r_2|:$

O ponto $\;S\;$ livre em $\;AB\;$ divide este em dois $\;AS\;$ e $\;BS\;$ que permite, por interseção de circunferências centradas em $\;O_1, \; O_2\;$ e de raios $\;AS, \;BS, \;$ determinar pontos cuja somas das suas distâncias a $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ seja constante igual a $\;r_1 + r_2\;$
o ponto $\;D\;$ colinear com $\;E, \;F\;$ exterior a $\;EF\;$ determina dois segmentos $\;DE\;$ e $\;DF\;$ tais que $\;DE - DF = |r_1-r_2|\;$ que permitem, por sua vez, por interseção de circunferências centradas em $\;O_1, \;O_2\;$ e raios $\;DE, \;DF, \;$ determinar pontos tais que as diferenças das suas distâncias aos centros $\;O_1, \;O_2\;$ é constante e igual a $\;|r_1 - r_2|\;$

A janela inicial ilustra o caso de duas circunferências mutuamente exteriores. Fazendo deslocar qualquer dos centros pode ir vendo, para as diferentes posições relativas das duas circunferências, as curvas que vão aparecendo e discutir para cada uma delas se se trata do lugar geométrico dos pontos equidistantes às duas.
Pode sempre voltar à configuração inicial clicando sobre o "botão na direita alta" e clicando no botão $\;\fbox{|>}\,$ na esquerda baixa, que movimenta $\;S,\; D, \;$ pode acompanhar o traçado das diversas curvas pelos pontos $\;P, \;Q\;$ construídos pelo processo descrito.

12.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e de uma reta que a interseta. (2)

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de uma reta$\;a\;$ que a interseta.

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a interseta em $\;B, \;C\;$.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r).\;$ Usando os pontos $\;A \;$ e $\;T\;$ pode variar a posição da reta $\;a\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;T\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;a\;$ à circunferência é, pois, $\;AT= r-AO\;$ e o ponto médio do segmento $\;AT\;$ é equidistante de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos. Para determinar outros pontos $\;Q\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ tomamos um ponto $\;D\;$ variável da circunferência e a tangente em $\;D\;$ perpendicular a $\;DA\;$ que contém os segmentos de reta cujos comprimentos são distâncias de pontos à circunferência. Os pontos $\;Q\;$ equidistantes da circunferência e da reta encontram-se como interseções de $\;a\;$ com as bissetrizes dos ângulos $\;D\hat{G}A\;$ das tangentes nos ponto $\;D\;$ com a reta $\;\;a\;$.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Quando o ponto $\;D\;$ percorre o arco $\;BTC\;$ da circunferência, os pontos $\;Q\;$ do semiplano determinado pela reta $\;a\;$ e pelo ponto $\;T\;$ percorrem um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\;d_1\;$ determinada de modo análogo ao usado na entrada anterior.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, procedemos de modo inteiramente análogo usando um ponto $\;E\;$ do arco $\;CEB\;$ da circunferência no outro dos semi-planos definidos pela reta $\;a\;$ .
$\;\; \fbox{n=5}:\;\;$ E de modo análogo, vimos que quando $\;E\;$ percorre o arco da circunferência, $\;P\;$ percorre um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\,d_2\;$
Claro que estas duas parábolas (que se intersetam nos pontos $\;B, \;C\;$ e em que a reta $\;a\;$ interseta $\;(O, \;r)\;$ de que apresentámos um arco de cada) constituem o lugar geométrico dos pontos equidistantes da circunferência e da reta $\;a\;$ que a intersete em dois pontos distintos. Separámos os arcos para $\;D\;$ e $\;E\;$ para simplificar a figura.
$\;\; \fbox{n=6}:\;\;$ Poderá verificar o que atrás afirmamos seguindo a animação de um ponto $\;M\;$ que percorre a circunferência, para o qual se determinam pontos das duas bissetrizes do ângulo formado pela tangente em $\;M\;$, perpendicular a $\;OM,\;$ e a reta $\;a\;$. Para cada ponto $\;M\;$ estão determinados sobre essas bissetrizes dois pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$. Estes pontos estão sobre as duas parábolas referidas.
Deslocando $\;A\;$ até que este coincida com $\;T\;$ pode ver que o lugar geométrico é formado por uma reta que passa por $\;O\;$ pelo ponto de tangência da reta com a circunferência e por uma parábola
Se a reta $\;a\;$ passa por $\;O\;$ o lugar geométrico é constituído por duas parábolas que se intersetam nos extremos de um diâmetro da circunferência.

8.12.14

Pontos equidistantes de uma reta e de uma circunferência (1)

Na nossa construção,

é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a não interseta;
a reta perpendicular a $\;a\,$ tirada por $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;A_0\;$ à circunferência é, pois, $\;A_0B_0= r-A_0O,\;$, já que $\;A_0\;$ é exterior à circunferência, e o ponto $\;P_0,\;$ médio do segmento $\;A_0B_0\;$ é equidistante de $\;A_0\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos;

para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da bissetriz do ângulo formado pela tangente em $\;B\;$ e por $\;a\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência;
como sabemos para cada ponto $\;B,\;$ há um ponto $\;P\;$ para o qual $\;AP= PB,\;$ sendo $\;AP \perp a, \;$ e sobre a reta $\;AP\;$ há um ponto $\;U\;$ tal que $\;AU=r\;$ ou $\;PU = PO.\;$ $\;PU\;$ é a distância de $\;P\;$ à reta $\;d\;$ paralela a $\;a\;$ e que dela dista $\;r, \;$ como se pode ver na nossa figura.
Os pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $;(O, \;r)\;$ são equidistantes de $\;O\;$ e de $\;d\;$, isto é, estão sobre uma parábola de diretriz $\;d\;$ e de foco $\;O.\;$

4.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela interior.

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado na entrada anterior, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de um ponto $\;A\;$ tal que $\;AO \leq r\;$.

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e um ponto $\;A\;$ interior a ela.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;A. \;$ A distância de $\;A\;$ à circunferência é, pois, $\;AB_0= r-AO\;$ e o ponto $\;M-0\;$, médio do segmento $\;AB_0\;$ é equidistante de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de $\;AB\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$Clicando sobre o botão $\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de $\;B\;$ verificará que, quando $\;B\;$ percorre a circunferência $\;(O, \;r),\;$ o ponto $\;P\;$ percorre uma elipse de focos $\;A\;$ e $\;O,\;$ como seria de esperar, já que $\;PA=PB=r-PO\;$ que é o mesmo que $\;PO+PA=r :\;$
A soma $\;PO+PA\;$ das distâncias de $\;P\;$ a $\;A\;$ e a $\;O\;$ é constante (igual ao raio $\;r\;$da circunferência dada).

1.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela exterior.

Ao longo dos anos, apresentamos várias definições e várias construções para as cónicas recorrendo a condições com distâncias de ponto a ponto, de ponto a reta, de reta a reta. Vamos agora introduzir lugares geométricos dos pontos que verificam condições usando distâncias de ponto a circunferência, reta a circunferência e circunferência a circunferência. Nesta entrada, trataremos do lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto e a uma circunferência dados.

Tomemos um ponto $\;A\;$ e uma dada circunferência $\;(O, r)\;$. A distância do ponto $\;A\;$ a $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;AO - r\;$ no caso de $\;A\;$ ser exterior à circunferência; <\li>
$\;r-AO\;$ no caso de $\;A\;$ ser interior à circunferência;
$\;0\;$ n caso de $\;A\;$ estar sobre a circunferência.

De um modo geral, podemos dizer que a distância de um ponto $\;P\;$ qualquer do plano a uma circunferência $\;(O, \; r)\:$ é dada por $$\; |PO-r|\;$$

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e um ponto $\;A\;$ exterior a ela.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;A. \;$ A distância de $\;A\;$ à circunferência é, pois, $\;AB_0= AO-r\;$ e o ponto $\;M-0\;$, médio do segmento $\;AB_0\;$ é equidistante de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existirem cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de $\;AB\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$Clicando sobre o botão $\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de $\;B\;$ verificará que, quando $\;B\;$ percorre a circunferência $\;(O, \;r),\;$ o ponto $\;P\;$ percorre uma hipérbole de focos $\;A\;$ e $\;O,\;$ como seria de esperar, já que $\;PA=PB=PO-r\;$ que é o mesmo que $\;PO-PA=r :\;$
A diferença $\;PO-PA\;$ das distâncias de $\;P\;$ a $\;A\;$ e a $\;O\;$ é constante (igual ao raio $\;r\;$da circunferência dada).

26.11.14

Invariante nas triangulações de polígonos inscritíveis (2)

Consideremos um polígono convexo $\;[A_1 A_2 \;\ldots A_{k} \ldots A_n]\;$ inscrito numa circunferência de centro $\;O \;$ e raio $\;R\;$ dados. Tomemos uma triangulação, por exemplo $\; [A_1A_2A_3], \; [A_1A_3A_4],\; \dots , \; [A_1A_{k-1}A_k], \; \dots \; [A_1A_{n-1}{A_n}]$ de $\;n-2\;$ triângulos e designemos por $\;i_k\;$ o inraio do triângulo $\;[A_1A_kA_{k+1}]\;$. Há várias triangulações para cada polígono, mas
a soma dos raios das circunferências inscritas nos triângulos é a mesma para qualquer das triangulações possíveis. Provemos.

No artigo publicado a 20.11.14 sob o título soma invariante nas triangulações de quadrilátero convexo inscrito mostrámos que, para um quadrilátero convexo inscrito numa cirucnferência de centro $\;O\;$ e raio $\;R\;$ dados,

a soma dos inraios de uma das triangulações é igual à soma dos inraios da outra
e, para isso, se demonstrou o teorema de Carnot:
- para um triângulo acutângulo $\;ABC\;$ inscrito numa circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;R\;$ se chamarmos $\;i\;$ ao inraio de $\;ABC\;$ e $\; m, \; n, \;p\;$ às distâncias de $\;O\;$ aos lados $\;a=BC, \;b=AC, \;c=AB\;$ respetivamente, então $$R+i =m+n+p$$
- para um triângulo $\;ABC\;$, obtusângulo em $\;C, \;$ verifica-se que $$R+i =m+n-p$$
óbvio é que se $\;ABC\;$ for um triângulo retângulo em $\;C, \;$ verifica-se que $$R+i =m+n$$ já que $\;AB=c\;$ é um diâmetro de $\;(O)\;$

Na figura abaixo, apresenta-se um hexágono convexo $\;[A_1A_2A_3A_4A_5A_6]\;$ inscrito numa circunferência $\;(O).\;$ A imagem inicial apresenta um hexágono com $\;O\;$ como ponto do seu interior e no interior de $\;[A_1A_4A_5]\;$ triângulo da triangulação feita tomando as diagonais tiradas por $\;A_1\;$, no exemplo. Para além das diagonais, na figura também estão visíveis as distâncias $\;OM_k =m_k\;$ (aos lados do polígono $A_kA_{k+1} \;$) e $\;ON_k = n_k\;$ (às diagonais $\;A_1A_3,\; A_1A_4, \;A_1A_5\;$ que são lados dos triângulos da triangulação tomada.

Aplicando o Teorema de Carnot (referido acima) aos triângulos em que decompusémos o nosso polígono, temos
$ R+i_1 = m_1+m_2-n_1 $ $R+i_2 = n_1+m_3-n_2$ $R+i_3 = n_2+n_3 + m_4$ $R+i_4 = m_5 +m_6 -n_3$ e, por isso, $$ 4R + (i_1 + i_2 +i_3 +i_4 )= m_1+m_2+m_3+m_4 +m_5+m_6 $$ ou $$i_1 + i_2 +i_3 +i_4 =m_1+m_2+m_3+m_4 +m_5+m_6 -4R \;\;\;\;\; \square$$ A soma dos inraios é igual à soma das distâncias do circuncentro aos lados do polígono diminuida do número de circunraios igual ao número de triângulos da triangulação (exatamente igual a $\;n-2, \;$ sendo $\;n\;$ o número de vértices ou número de lados do polígonos unicamente dependente do polígono e da sua circunscrita e independente da triangulação tomada.

Este raciocínio aplica-se a qualquer polígono convexo inscritos em circunferência com centro no interior do polígono e, forçosamente, em algum triângulo cujos lados são lados ou diagonais do polígono.
O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o caso de $\;O\;$ ser um ponto exterior ao polígono inscrito em $\;(O,\; R).\;$ Nestas condições, o ponto $\;O\;$ é exterior a todos os triângulos de qualquer triangulação que se tome.
Verificará que, por aplicação do Teorema de Carnot, o resultado se mantém o mesmo.
O resultado pode ser demonstrado por indução finita, usando o resultado da entrada anterior. Para um triângulo, o inraio varia conforme tenha um ângulo obtuso, reto ou todos agudos. Para um quadrilátero convexo inscrito mantém-se invariante a soma dos inraios para cada uma das triângulações. Bastará provar que, para qualquer $\;p\geq 4\;$,
se a soma dos inraios de um polígono convexo inscrito de $\;p\;$ lados é invariante para todas as suas triangulações então também tal se verifica para todos os polígonos convexos inscritos de $\;p+1\;$ lados
Um polígono convexo inscrito de $\;p+1\;$ lados, $\;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p+1}\;$, pode decompor-se sempre em dois polígonos inscritos na mesma circunferência, a saber: um polígono de $\;p\;$ lados — $\;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p}\;$ —, e um triângulo $\;A_1A_pA_{p+1}\;$. Pela hipótese de indução, para $\;p\geq 4\;$. $$i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p_3}+ i_{p-2} =m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p-2} + n_{(p+1)/2} -(p-3)R$$ $\;O\;$ pode ser interior de $\;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p}\;$ (e exterior de $\;A_1A_pA_{p+1}\;$) ou .... ou exterior a ambos....
Consideremos $\;O\;$ exterior a $\;A_1A_pA_{p+1}\;$ e $\angle A_1\hat{A_p}A_{p+1}$ obtuso. A distância de $\;O\;$ ao lado $\;A_1A_p\;$, oposto ao obtuso neste triângulo, é $\;n_{(p+1)/2} \;$, sendo $\;m_p\;$ a distância de $\;O\;$ a $A_pA_{p+1}$ e $\;m_{p+1}\;$ a $A_{p+1}A_1$.
Para este último triângulo $\;A_1A_pA_{p+1}\;$ inscrito em $\;(O, \;R)\;$ de que $\;O\;$ está no exterior ($\angle A_1\hat{A_p}A_{p+1}$ é obtuso), o seu inraio $\;i_{p-1}\;$ é igual a $\;m_p + m_{p+1} - n_{(p+1)/2} -R \;$
Podemos então escrever para $\;p\geq 4, $ $$i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p-3}+ i_{p-2} + \underbrace{i_{p-1}}=\\\ =m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p-2} + n_{(p+1)/2} -(p-2)R + \underbrace{m_p + m_{p+1} - n_{(p+1)/2} -R}$$ ou $$i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p-3}+ i_{p-2} + i_{p-1}=m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p+1-2} + m_{p+1-1} + m_{p+1} -(p+1-2)R $$ como queríamos provar.