Curvas como lugares geométricos (memória)

curvas como lugares geométricos, ....

Em 2009, publicámos construções dinâmicas de curvas como lugares geométricas apresentadas nas vol IV das Obras sobre Mathemática de Francisco Gomes Teixeira, mais propriamente no Tomo I de "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" que existe na Biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão, em Aveiro. Foram elas, as seguintes:

Folium Parabólico [16/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/folium-parab.html
Conchóide de Sluse I [20/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse.html
Conchóide de Sluse II [30/6/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/06/conchoide-de-sluse-ii.html
Primeira cissóide [1/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/primeira-ciss.html
Segunda cissóide [4/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/segunda-ciss.html
Terceira cissóide [8/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/terceira-ciss.html
Quarta cissóide [9/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quarta-ciss.html
Quinta cissóide [11/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/quita-ciss.html
Cissóide e sua inversa [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/cissoide-e-sua-inversa.html
Inversa da cissóide de Diócles [14/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/inversa-da-ciss-de-di.html
A cissóide de Diócles e a parábola [19/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss-de-diocles-e-par.html
Conchóide de Nicomedes [20/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/conch-de-nicomedes.html
Cissóides? [27/7/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/07/ciss.html
Oval de Descartes [1/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/oval-de-descartes.html
As espíricas, as lemniscatas [4/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/as-esp-as-lemniscatas.html
Estrofóide? [7/8/09]
http://geometrias.blogspot.com/2009/08/estrof.html

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Nas próximas entradas, retomamos (ou tentamos retomar) as construções de curvas como lugares geométricos, agora do tomo II do Tratado. Começamos com as espirais.

Resolver um problema de construção, usando homotetia (entre curvas)

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Problema:     Dadas duas curvas $\;c_1\;$ e $\;c_2\;$ um ponto $\;O\;$ e um número $\;k\;$, determinar um ponto $\;P_1\;$ da curva $\;c_1\;$ e um ponto $\;P_2\;$ da curva $\;c_2\;$ tais que $\;\displaystyle \frac{OP_2}{OP_1} = k\;$.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.

© geometrias, 21 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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1. são dados: uma curva $\;c_1\;$ (no caso, uma hipérbole azul) e outra $\;c_2\;$ (no caso, uma parábola encarnada), um ponto $\;O\;$ , número $\;k$.
2. Procuramos um par de pontos $\;(P_1, \; P_2)\:$ de $\;c_1 \times c_2\;$ de tal modo que $\;\overrightarrow{OP_2} = k. \overrightarrow{OP_1}\;$, que é o mesmo que dizer que $\;P_2\;$ é homotético de $\;P_1\;$ pela homotetia $\; {\cal{H}}(O, \;k)\;$
3. Se determinarmos a curva $\;c'_1\;$, homotética de $\;c_1\;$ por $\; {\cal{H}}(O, \;k)\;$ e não for vazia a iinterseção $\;c'_1 . c_2\;$ encontraremos um ponto $\;P_2\;$ de $\;c_2\;$ a que corresponde o ponto $\;P_1\;$ de $\;c_1\;$ homotético de $\;P_2$
4. Pode haver mais que uma solução. Também pode não haver solução.

Pode deslocar $\;O\;$ e o cursor $\;\fbox{k=-2, ..., 2}\;$ ao cimo à esquerda.