Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; .
Sabemos que a distância de um ponto \;P\; a uma circunferência \;(O, \;r)\; é dada por
- \;OP-r, \; no caso de \;P\; ser exterior a \;(O, \;r)\;
- \;r-OP\; se \;P\; for interior a \;(O, \;r)\;
- \;0\; se \,P\; for um ponto de \;(O, \;r)\;
Os pontos \;P\; equidistantes de duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; satisfarão as seguintes condições:
- Os pontos \;P\; exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1P -r_1= O_2P -r_2\; equivalente a
O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\;
- Os pontos \;P\; exteriores a \;(O_1, \;r_1)\; e interiores a \;(O_2, \; r_2)\; delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1 P - r_1 =r_2 - O_2P\; equivalente a
O_1P + O_2P = r_1+ r_2ou pontos de uma elipse de focos \;O_1, \;O_2\; e eixo maior de comprimento \;r_1+r_2\;.
Como é óbvio, os pontos interiores a \;(O_1, \;r_1)\; e exteriores a \;(O_2, \; r_2)\; satisfazem a mesma condição. - Os pontos interiores a ambas as circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;r_1 - O_1P =r_2 - O_2P\; equivalente a
O_1 P-O_2P = r_1-r_2 \; \mbox{ou} \; O_2P - O_1P = r_2-r_1 ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \;O_2\; e segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 -r_2|\;
Na construção que apresentamos a seguir, tomamos duas circunferências de raios (6 e 2) diferentes, sendo os centros pontos livres no plano. pretendemos ilustrar o que atrás concluímos e não percorrer exaustivamente todos os casos que diferentes situações relativas das circunferências ou a comparação entre os raios (por exemplo não tomamos circunferências de raios iguais).
© geometrias, 17 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Ao alto da construção temos dois segmentos: \;AB = r_1 + r_2\; e outro \;EF = |r_1 - r_2|:
- O ponto \;S\; livre em \;AB\; divide este em dois \;AS\; e \;BS\; que permite, por interseção de circunferências centradas em \;O_1, \; O_2\; e de raios \;AS, \;BS, \; determinar pontos cuja somas das suas distâncias a \;O_1\; e \;O_2\; seja constante igual a \;r_1 + r_2\;
- o ponto \;D\; colinear com \;E, \;F\; exterior a \;EF\; determina dois segmentos \;DE\; e \;DF\; tais que \;DE - DF = |r_1-r_2|\; que permitem, por sua vez, por interseção de circunferências centradas em \;O_1, \;O_2\; e raios \;DE, \;DF, \; determinar pontos tais que as diferenças das suas distâncias aos centros \;O_1, \;O_2\; é constante e igual a \;|r_1 - r_2|\;
A janela inicial ilustra o caso de duas circunferências mutuamente exteriores. Fazendo deslocar qualquer dos centros pode ir vendo, para as diferentes posições relativas das duas circunferências, as curvas que vão aparecendo e discutir para cada uma delas se se trata do lugar geométrico dos pontos equidistantes às duas.
Pode sempre voltar à configuração inicial clicando sobre o "botão na direita alta" e clicando no botão \;\fbox{|>}\, na esquerda baixa, que movimenta \;S,\; D, \; pode acompanhar o traçado das diversas curvas pelos pontos \;P, \;Q\; construídos pelo processo descrito.
