Espiral de Fermat

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No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;Q\;$ existe um ângulo $\;\theta\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$):

• : $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
• e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
  $\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$

Cada ponto $\;R\;$ é obtido por rotação em torno de $\;A\;$ e ângulo $\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente $\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que $\;R\;$ é obtido como imagem de $\;Q\;$ por meia volta de centro em $\;A\;$

© geometrias: 20 janeiro 2015, Criado com GeoGebra

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A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$$ e $$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $

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Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909