GEOMETRIA : espiral: lituus

6.2.15

espiral: lituus

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira aborda uma espiral conhecido por Lituus que é o lugar geométrico dos pontos

$\;P\;$ para os quais é constante a área dos setores circulares

$\;P_0OP\;$ sendo

$\;O\;$ um ponto fixo e centro da circunferência de raio

$\;OP_0 = OP\;$ e os diferentes ângulos

$\;\alpha = P_0\hat{O}P\;$ têm por primeiro lado uma semi-reta dada de extremo em

$\;O\;$ , onde incidem todos os pontos

$\;P_0\;$ .
Como sabemos, para cada

$\;P\;$ , um círculo de de raio

$\;OP \;$ tem área

$\;2\pi \times OP^2 \;$ e um seu setor circular correspondente a um ângulo ao centro

$\;P_0\hat{O}P\;=\;\alpha \;$ radianos, tem por área

$\;\alpha \times OP^2 .\;$ .

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\left\{\;P: \;OP^2\times \alpha= a^2\;\right\}$ em que são dados

$\;O, \; a\;$ . No caso da nossa construção, tomámos

$\;a=2,5\;$ e

$\;\alpha\;$ a percorrer os valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ]. \;$
Para cada valor de

$\;a\;$ , um ponto

$\;P\;$ do nosso lugar geométrico "Lituus" fica definido em função de

$\;O,\;$ dado, e de ângulo

$\;\alpha\;$ medido a partir de dada semi-reta com extremidade em

$\;O\;$ :

$OP^2 \times \alpha = a^2 \Leftrightarrow OP = \frac{a}{\sqrt{\alpha}}$ Na figura estão assinalados os pontos

$\;A, \;B,\;C, \;D:\;$

$A_0\hat{O}A=\frac{\pi}{2}\;$ e

$\;OA=a\times \sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$B_0\hat{O}B=\pi\;$ e

$\;OB=a\times \sqrt{\frac{1}{\pi}}$

$C_0\hat{O}C=\frac{3\pi}{2}\;$ e

$\;OACa\times \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$

$D_0\hat{O}D=2\pi\;$ e

$\;OD=a\times \sqrt{\frac{1}{2\pi}}$

$\forall L\in \mathbb{R}^+, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ : [\alpha<\delta \Rightarrow OP>L ] \wedge [\alpha >L \Rightarrow OP<\delta]$

iFrancisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

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