A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos \;P\; de uma semi-reta \;\dot{A}P\; a rodar em torno do ponto \;A\; dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de \;A\; sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada \;P\; existe um ângulo \;\alpha\; e ponto \;D\; sobre \;AB\; tal que \begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}
sendo que para cada \;D\; de \;AB\; haverá um \;0 \leq k\leq 1\; tal que \; P=A+k\times(B-A)\; (ou \; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}):
- : \; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;
- e para sincronizar os dois movimentos \; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;
\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;
© geometrias: 16 janeiro 2015, Criado com GeoGebra
A espiral construída é o conjunto de pontos \;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;
em que são dados \;A, \;B\; e \;\alpha\; toma valores no intervalo (de radianos)
\;[ 0, \; 2\pi ].
Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909
