Elementos: O recíproco do Teorema de Pitágoras (por Euclides)

---

Transcrevemos ainda de "Os Elementos" o enunciado e demonstração do recíproco do Teorema de Pitágoras, última proposição do Livro I. Muitas discussões sobre a introdução (ou não) em aulas do ensino básico acabaram sempre (ou quase) em derrotas de quem tal defendia. A derrota sente-se logo ao apresentar oralmente a demonstração que naturalmente utiliza vários resultados anteriormente provados, incluíndo o mais próximo teorema da sequência (o próprio teorema de Pitágoras).

RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

PROP. XLVIII. TEOR.
Se o quadrado feito sôbre um lado de um triângulo fôr igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por êstes dois lados será reto .

© geometrias. 5 de Março 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o quadrado feito sôbre o lado BC do triângulo ABC igual aos quadrados feitos sôbre os lados BA, AC. Digo que o ângulo BAC é reto.

Levante-se do ponto A sôbre AC a perpendicular AD (_*Pr. 11.1.), e ponha- se AD = BA, e tire-se DC. Sendo DA = AB, será o quadrado sôbre DA igual ao quadrado sôbre AB. Ajunte_se-lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão iguais aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é igual aos quadrados de DA, AC, por ser o ângulo DAC reto (_**Pr. 47.1. ), e o quadrado de BC se supõe igual aos quadrados de BA, AC. Logo, o quadrado de DC será igual ao quadrado de BC. Logo, será DC = CB. Sendo pois DA = AB, e AC comum, as duas DA, AC serão iguais às duas BA, AC. Mas é a base DC = BC outra base. Logo, será o ângulo DAC = BAC (_***Pr. 8.1.). Mas o ângulo DAC é reto. Logo, também o ângulo BAC será reto. □

---

^*PROP. XI. PROB. De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sôbre a mesma reta dada. ^**PROP. XLVII. TEOR. Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto ^***PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também são iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais

---

1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000