GEOMETRIA : Tratado das Curvas

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6.2.15

espiral: lituus

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira aborda uma espiral conhecido por Lituus que é o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante a área dos setores circulares $\;P_0OP\;$ sendo $\;O\;$ um ponto fixo e centro da circunferência de raio $\;OP_0 = OP\;$ e os diferentes ângulos $\;\alpha = P_0\hat{O}P\;$ têm por primeiro lado uma semi-reta dada de extremo em $\;O\;$, onde incidem todos os pontos $\;P_0\;$.
Como sabemos, para cada $\;P\;$, um círculo de de raio $\;OP \;$ tem área $\;2\pi \times OP^2 \;$ e um seu setor circular correspondente a um ângulo ao centro $\;P_0\hat{O}P\;=\;\alpha \;$ radianos, tem por área $\;\alpha \times OP^2 .\;$.

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\left\{\;P: \;OP^2\times \alpha= a^2\;\right\}$$ em que são dados $\;O, \; a\;$. No caso da nossa construção, tomámos $\;a=2,5\;$ e $\;\alpha\;$ a percorrer os valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. \;$
Para cada valor de $\;a\;$, um ponto $\;P\;$ do nosso lugar geométrico "Lituus" fica definido em função de $\;O,\;$ dado, e de ângulo $\;\alpha\;$ medido a partir de dada semi-reta com extremidade em $\;O\;$: $$ OP^2 \times \alpha = a^2 \Leftrightarrow OP = \frac{a}{\sqrt{\alpha}}$$ Na figura estão assinalados os pontos $\;A, \;B,\;C, \;D:\;$

$A_0\hat{O}A=\frac{\pi}{2}\;$ e $\;OA=a\times \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
$B_0\hat{O}B=\pi\;$ e $\;OB=a\times \sqrt{\frac{1}{\pi}}$
$C_0\hat{O}C=\frac{3\pi}{2}\;$ e $\;OACa\times \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$
$D_0\hat{O}D=2\pi\;$ e $\;OD=a\times \sqrt{\frac{1}{2\pi}}$
$$\forall L\in \mathbb{R}^+, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ : [\alpha<\delta \Rightarrow OP>L ] \wedge [\alpha >L \Rightarrow OP<\delta] $$

iFrancisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

23.1.15

Espiral de Fermat

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;Q\;$ existe um ângulo $\;\theta\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$):

: $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
$\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$

Cada ponto $\;R\;$ é obtido por rotação em torno de $\;A\;$ e ângulo $\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente $\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que $\;R\;$ é obtido como imagem de $\;Q\;$ por meia volta de centro em $\;A\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$$ e $$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

16.1.15

Espiral de Arquimedes

A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ de uma semi-reta $\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto $\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de $\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;P\;$ existe um ângulo $\;\alpha\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$):

: $\; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;$
$\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909