revisitar problemas de máximos e mínimos - perímetros e áreas

espiral: lituus

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No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira aborda uma espiral conhecido por Lituus que é o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante a área dos setores circulares $\;P_0OP\;$ sendo $\;O\;$ um ponto fixo e centro da circunferência de raio $\;OP_0 = OP\;$ e os diferentes ângulos $\;\alpha = P_0\hat{O}P\;$ têm por primeiro lado uma semi-reta dada de extremo em $\;O\;$, onde incidem todos os pontos $\;P_0\;$.
Como sabemos, para cada $\;P\;$, um círculo de de raio $\;OP \;$ tem área $\;2\pi \times OP^2 \;$ e um seu setor circular correspondente a um ângulo ao centro $\;P_0\hat{O}P\;=\;\alpha \;$ radianos, tem por área $\;\alpha \times OP^2 .\;$.

© geometrias: 4 de fevereiro de 2015, Criado com GeoGebra

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A espiral construída é o conjunto de pontos $$\left\{\;P: \;OP^2\times \alpha= a^2\;\right\}$$ em que são dados $\;O, \; a\;$. No caso da nossa construção, tomámos $\;a=2,5\;$ e $\;\alpha\;$ a percorrer os valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. \;$
Para cada valor de $\;a\;$, um ponto $\;P\;$ do nosso lugar geométrico "Lituus" fica definido em função de $\;O,\;$ dado, e de ângulo $\;\alpha\;$ medido a partir de dada semi-reta com extremidade em $\;O\;$: $$ OP^2 \times \alpha = a^2 \Leftrightarrow OP = \frac{a}{\sqrt{\alpha}}$$ Na figura estão assinalados os pontos $\;A, \;B,\;C, \;D:\;$

$A_0\hat{O}A=\frac{\pi}{2}\;$ e $\;OA=a\times \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
$B_0\hat{O}B=\pi\;$ e $\;OB=a\times \sqrt{\frac{1}{\pi}}$
$C_0\hat{O}C=\frac{3\pi}{2}\;$ e $\;OACa\times \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$
$D_0\hat{O}D=2\pi\;$ e $\;OD=a\times \sqrt{\frac{1}{2\pi}}$
$$\forall L\in \mathbb{R}^+, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ : [\alpha<\delta \Rightarrow OP>L ] \wedge [\alpha >L \Rightarrow OP<\delta] $$

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iFrancisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909