No dia 28 de Dezembro de 2004, publicámos a primeira mensagem neste bloGeometrias, a saber:
OBRIGADO A TODOS OS QUE NOS VISITARAM.
ESPERAMOS TER AJUDADO A PENSAR EM GEOMETRIA BÁSICA DINÂMICA. <
Enunciado do problema (adaptado):
Inscrever numa dada esfera de raio 1 um cilindro de área máxima: que dimensões para o cilindro?
O problema é citado numa carta (10.11.1642)) enviada de Fermat para Mersenne, aqui apresentado como exemplo da potência da notação de Leibniz. Nesta entrada vamos simplesmente ilustrar o problema reduzindo à determinação de um representante dos retângulos de área máxima de entre todos os que podem inscrever-se numa circunferência de raio 1, já que a superfície do cilindro é o varrimento feito pela altura a rodar em torno do eixo a passar pelos centros das bases e, por isso , a sua área é dada por um produto da altura \;h\; pelo perimetro \;2\pi r\; da circunferência base ou seja \;pi b\; se chamarmos \;b\; segunda dimensão da secção do cilindro cortado ao meio longitudinalmente por um plano a passar pelos dois centros das bases.
A 1ª figura( parte superior da janela) apresenta uma esfera de raio 1 e nela inscrito um cano cilíndrico que a atravessa. As bases do cilindro (bocas dos canos) são circunferências de diâmetros variáveis entre zero e dois que é diâmetro da esfera. Apresenta-se também o retângulo - corte longitudinal. E, claro, os valores correspondentes às dimensões de cada retângulo, bem como o valor correspondente à superfície de cada revolução cilindrica - \; \pi .b .h\;.
Na parte inferior da janela, apresenta-se a figura de um círculo máximo da esfera e nele inscrito um retângulo (dimensões variáveis) em que uma delas será diâmetro da base e outra a altura do cilindro (variáveis)
Sabemos que \;b: 0 < b < 2\; bem como \;h: 0 < h < 2\; e que \;b^2+ h^2 = 4,\; já que cada um dos retângulos inscritos é dividido em dois triângulos retângulos de catetos \;b,\; h\; e hipotenusa igual ao diâmetro do circulo máximo (ou da esfera). Por isso os pontos \;(b,\; h)\; são pontos de uma circunferência de raio \;2\; e os pontos \;b, bh\; são pontos de uma curva de função \; b \mapsto b.\sqrt{4-b^2}
de domínio\;]0, 2[,\; cuja derivada em ordem a \;b\; é b \mapsto \sqrt{4-b^2} - \frac{b^2}{\sqrt{4-b^2}}= \frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}
tal que \frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}=0 \Leftrightarrow b=-\sqrt{2} \vee b= \sqrt{2}
e, por isso, de entre todos os retângulos, o retângulo que tem área máxima \;2\; de dimensões \;b=h=\sqrt{2}\; é um quadrado.
E o cano cilíndrico que atravesssa a esfera de um metro de raio tem área lateral \;\pi. \sqrt{2}. \sqrt{2}\; m^2 = 2\pi\; m^2\; que é quanto precisa de placa de lata
ou seja, de uma placa de dimensões \;\pi \sqrt{2}\; metros por \;\sqrt{2}\; metros □
Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by its History. Sprnger, p. 195,196
Cylinder with maximal surface area in a sphere.
Problem: Inscribe in a given sphere of radius \;1\; a cylinder with radius \;y\; and height \;2x\; of maximal surface area.
