Nesta entrada, embora todas as construções sejam feitas com régua e compasso, recorremos a operações algébricas, conceitos de função polinomial, derivada, etc.
O enunciado adaptado do problema desta entrada é:
Consideremos dois pontos \;A,\;B\; e sobre esse segmento, com vértice em \;A,\; construimos um quadrado \;AEFD.\; Sobre \;BD\; tomamos \;K\; na intersecção com \;EF.\; Determinar o comprimento do lado do quadrado para o qual a área do triângulo \;KEB\; é máxima.
- Na figura inicial aparecem-nos os pontos \;A,\;B,\;C,\;D,\;E,\;F,\;K,\;L,\;O,\;X,\;Y,\; os segmentos \;AB=a(>0),\;AD,\; AE,\;BD,\;EF,\;FD,\;OX,\;XL,\;LY,\;YO,\; o quadrado de lado \;AD\; e o comprimento do seu lado, o triângulo retângulo em \;E, \;\;[KEB],\; e o valor da sua área, ambos em vermelho.
Ao lado, o retângulo \;OXLY\; tem dimensões \;OX=AD \;\mbox{e} \; OY= \displaystyle \frac{BE \times EK}{2}\;
Está assim reunida toda a informação necessária ao estudo da relação entre os números \;OY =y\; associados às áreas dos triângulos \;KEB\; a variar com os valores \;AD=OX=x\; dos lados dos quadrados \;AEFD\; estes a variar entre \;0\; e \;a=AB.\; -
Como \;DA=AE=EF=FD = x\; e \;K\; é um ponto da diagonal \;DB\; a dividir em dois triângulos o retângulo \;AB \times AD, \; podemos concluir que \;AE\times EK = EB \times KF\; (Os Elementos de Euclides; Livro I; Proposição XLIII TEOR: Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si ) Clicando no botão Notas obtém os elementos auxiliares da construção relativos ao resultado anterior.
- Como \;AE\times EK = EB \times KF\; pode ser escrito assim: x\times EK = (a-x) \times (x-KE) \Longleftrightarrow\\ x \times EK = ax-x^2-a \times KE +x\times KE \Longleftrightarrow \\ KE= \frac{ax-x^2}{a} então o valor associado à área \;y= \displaystyle \frac{BE \times EK}{2} do triângulo \;KEB\; pode ser dado pela expressão \; y= \frac{(a-x) \times \displaystyle \frac{ax-x^2}{a}}{2} simplificando y= \frac{(a-x) \times (ax-x^2)}{2a} y=\frac{a^2x-ax^2-ax^2+x^3}{2a} e, finalmente, y=\frac{1}{2a}x^3 -x^2 +\frac{ax}{2} que nos dá os valores de \;y\; (áreas dos triângulos \;KEB ) em função de \;x\; (valores dos comprimentos do lado dos quadrados construídos a partir de \;A\; sobre \;AB\;) cujo gráfico é traçado por \;L(x,y)\; com \;0 < x \leq a\; e \;y\geq 0.\; Procuram-se o(s) valor(es) de \;x\; para o qual \;y\; atinge o seu valor máximo, acima das áreas de todos os outros triângulos construídos nas condições do problema.
- A derivada \;y’_x = \frac{3}{2a}x^2 -2x + \frac{a}{2} para valores positivos de \;a\; anula-se em alguns pontos que vamos calcular. \frac{3}{2a}x^2 -2x + \frac{a}{2} =0 \Longleftrightarrow x= \displaystyle\frac{2 ± \sqrt{4-4\frac{3}{2a}\frac{a}{2}}}{2\times \frac{3}{2a}} \Longleftrightarrow x=\frac{a}{3}\wedge x=a Entre \;0\; e \;a\; para qualquer \; a>0, o valor da área do triângulo \;y=\frac{4a^2}{54}\; é máximo quando o valor do comprimento do lado do quadrado é \;x=\frac{a}{3}.\; Para o valor máximo do lado do quadrado \;x=a,\; o valor da área do triângulo é \; y=0,\; como se pode verificar imediatamente.
4 setembro 2017, Criado com GeoGebra
Sangaku Optimization Problems:
(All animations written by David Schultz in MAPLE (TM). Source code available upon request: davvu41111@mesacc.edu)
Japanese Optimization Problem by Kojima Yokichi -1999
Problem Statement: A square is constructed using the far-left endpoint of a segment of fixed length. For what side length of the square will the area of the red triangle be a maximum?
Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Fukagawa, H. & Rothman, T. 2008.
