11.4.15

Retas tiradas de um ponto para um círculo: igualdade de áreas de retângulos (secantes) e quadrados (tangentes)


Da PROP. XXXVI. TEOR. (Livro III ) da anterior entrada
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por tôda a reta, que corta o círculo, e pela parte dela, que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente

é considerado n'Os Elementos' um corolário assim enunciado
Disto se segue que, se de um ponto qualquer A fora de um círculo se tirarem duas retas que cortem o círculo, os retângulos compreendidos pelas retas inteiras e pelas partes delas, que ficam entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, serão iguais entre si; isto é, será o retângulo das retas BA, AE igual ao retângulo das retas CA, AF. E a razão é porque cada um dêstes retângulos é igual ao quadrado da tangente AD

e o seu recíproco de que, a seguir, apresentamos enunciados e demonstração:
Livro III - PROP. XXXVII. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo (Fig. 55.).
ou, de outro modo,
Do ponto D fora do círculo ABC estejam tiradas as duas retas DCA, DB, das quais DCA corte o círculo, e DB seja incidente sôbre a circunferência. Seja também o retângulo compreendido pelas retas AD, DC igual ao quadrado de DB. Digo que DB é tangente do círculo ABC no ponto B.


São dados uma circunferência azul um ponto $\;D\;$ a ela exterior, duas retas a passar por $\;D\;$ das quais uma corta a circunferência em $\;A\;$ e em $\;C\;$ e outra a incidir em $\;B\;$ ponto da circunferência dada. Mostram-se ainda o quadrado de lado $\;DB\;$ e o retângulo de lados iguais a $\;DA, \;DC\;$ que são iguais em área: $$DB^2=DA\times DC$$



© geometrias. 10 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

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O que se pretende demonstrar é que: Sendo $\;D\;$ um ponto exterior da circunferência e $\;B, \; A, \; C\;$ pontos da circunferência e $\; A, \;C, D\;$ sobre uma mesma reta, se se verificar que o quadrado de lado $\;DB\;$ for igual em área ao retângulo de de lados $\;DA, \;DC$, então $\;DB\;$ é tangente à circunferência.
Usando os processos descritos e demonstrados
em (1.3), determina-se o centro $\;F\;$
em (17.3), tire-se a reta $\;DE\;$ tangente à circunferência de que $\;E\;$ é o ponto de tangência
e tiramos as retas $\;FE, \;FB, \;FD\;$ (Post. I.1).
Como $\;DE\;$ é uma tangente, por (18.3), $\;FE \perp ED\;$ ou $\;\angle FÊD\;$ é reto.
Por (36.3), como $\;DE\;$ é tangente à circunferência e $\;DCA\;$ corta a mesma circunferência em $\;A, \;C,\;$ verifica-se que $\;DE^2 = DA \times DC\;$.
Ora, por hipótese, também $\;DB^2= DA\times DC, \;$ e, por isso, conclui-se que $\;DB = DE\;$.
Podemos concluir, por (8.1), que os triângulos $\;DEF, \;FBD\;$ têm uma base $\;FD\;$ comum, e dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, ( $\;FE=FB\;$ como raios da mesma circunferência, e, como vimos $\;DB = DE,\;$ ) e são iguais os ângulos $\;\angle F\hat{B}D, \; \angle D\hat{E}F\;$ compreendidos pelos lados iguais. Como já vimos, no início, o ângulo $\;\angle D\hat{E}F \;$ é reto e, por isso (ax.1), $\; \angle F\hat{B}D \;$ também é reto. Assim, a reta $\;FB\;$ é um diâmetro e a a reta $\;DB\;$ é tirada perpendicularmente por uma das extremidades do diâmetro sendo, por isso, uma reta que toca o círculo (16.3). Ou seja a reta $\;DB\;$ é tangente ao círculo. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
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Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
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LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.
PROP. XVIII. TEOR.
Se uma linha reta tocar um círculo, e do centro fôr tirada para o ponto de contacto outra reta, esta cairá perpendicularmente sôbre a tangente.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000
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