Os lados não paralelos e as diagonais de um trapézio determinam triângulos equivalentes

Elementos: igualdade de "conteúdos" de triângulos.

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Transcrevemos do Livro I de "Os Elementos"¹ o enunciado e demonstração da proposição Pr. 37.1 que trata da igualdade de dois triângulos, no mesmo sentido da Pr. 35.1, apresentado para paralelogramos na entrada anterior. Estes resultados que tratam de apresentar condições em que duas figuras são iguais ("em área ou conteúdo") usando o método de "corta e cola" - remover e juntar figuras de ou a outras figuras - processo puramente geométrico.

PROP. XXXVII. TEOR.

Os triângulos, que estão postos sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.

© geometrias. 21 de Fevereiro 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Os triângulos ABC, DBC, estejam postos sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas AD, BC. Digo que os triângulos ABC, DBC são iguais.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se BE paralela a CA, e pelo ponto C tire-se CF paralela a BD (Pr. 31.1.^*). Logo, EBCA, DBCF serão dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são iguais (Pr. 35. 1.^**), por estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, EF; e o triângulo ABC é a metade (Pr. 34.1.^***) do paralelogramo EBCA, que fica dividido em duas partes iguais pela diagonal AB, como também o triângulo DBC é a metade do paralelogramo DBCF, que é dividido em duas partes iguais pela diagonal DC. Logo, será o triângulo ABC = DBC, outro triângulo, porque as metades de quantidades iguais são também iguais (Ax. 7.^****). □

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^*PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada ^**PROP. XXXV TEOR.
Os paralelogramos que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais. ^***PROP. XXXIV TEOR.
Os lados e os ângulos opostos dos espaços formados com linhas paralelas, ou paralelogramos, são iguais; e todo o espaço paralelogramo, fica dividido pela diagonal em duas partes iguais ^****AXIOMA VII VII. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais..

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1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000