Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência \;(O, \; r)\; e de uma reta \;a\; que não interseta essa circunferência.
Na nossa construção,
- é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e uma reta \;a\; que a não interseta;
- a reta perpendicular a \;a\, tirada por \;O\; interseta a circunferência no ponto \;B_0\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;a.\; A distância de \;A_0\; à circunferência é, pois, \;A_0B_0= r-A_0O,\;, já que \;A_0\; é exterior à circunferência, e o ponto \;P_0,\; médio do segmento \;A_0B_0\; é equidistante de \;A_0\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos;
- para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos \; P\; à circunferência é medida sobre a reta \;PO\;. Tomando um ponto \;B\; da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos \;P\; que procuramos, estará sobre alguma reta \;BO,\; com \;B\; a percorrer a circunferência. Como a distância \;PB\; de \;P\; à circunferência terá de ser igual a \;PA, \; \;P\; terá de ser um ponto da bissetriz do ângulo formado pela tangente em \;B\; e por \;a\;, para cada \;B\; da circunferência;
- como sabemos para cada ponto \;B,\; há um ponto \;P\; para o qual \;AP= PB,\; sendo \;AP \perp a, \; e sobre a reta \;AP\; há um ponto \;U\; tal que \;AU=r\; ou \;PU = PO.\; \;PU\; é a distância de \;P\; à reta \;d\; paralela a \;a\; e que dela dista \;r, \; como se pode ver na nossa figura.
- Os pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e de ;(O, \;r)\; são equidistantes de \;O\; e de \;d\;, isto é, estão sobre uma parábola de diretriz \;d\; e de foco \;O.\;
© geometrias, 8 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Clicando sobre o botão \;\fbox{|>}\; poderá ver a curva que o ponto \;P\; percorre.
Na nossa construção, consideramos a reta \;a\; não secante nem tangente à circunferência \;(O, \;r)\; e os pontos \;B\; da circunferência tais que \; \angle A_0Ô B \leq \displaystyle \frac{\pi}{2} .\, Veremos outras construções com outras restrições em próximas entradas.
