4.4.15

Elementos: potência de um ponto (Livro III, PROP. XXXVI. TEOR.)


Temos vindo a escolher alguns resultados, construções e demonstrações, para dar uma ideia do conteúdo dos livros I, II que vamos continuar agora com o livro III e mais tarde com o livro IV. Pretende-se dar a ideia de cada livro pelo seu assunto, noções e forma de as introduzir, relação entre construções e demonstrações de Euclides, ao mesmo tempo que se constrói uma cadeia de resultados que são passos necessários para a inscrição de um pentágono equilátero e equiangular num dado círculo (do livro IV)
Do Livro III de "Os Elementos", que trata de círculos e sua relação com retas e derivados, destacamos um teorema e o seu recíproco cujas demonstrações assentam na igualdade de áreas entre figuras. Não fazendo todas as construções e demonstrações anteriores a esta, não deixamos de as referir. Alguns enunciados e notações continuam a ser os transcritos de "Os Elementos" que temos vindo a referir e que na forma, conteúdo e sequência é seguido.

Livro III - PROP. XXXVI. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por toda a reta que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente.
ou, de outro modo, Esteja o ponto $\;D\;$ fora do círculo $\;ABC\;$, e deste ponto $\;D\;$ estejam tiradas a reta $\;DCA\;$, que corte o círculo, e a reta $\;DB\;$, que o toque. Digo que o retângulo das retas $\;AD\;$, $\;DC\;$ é igual ao quadrado da tangente $\;DB\;$.
Podemos seguir os passos da nossa construção e demonstração, fazendo variar o valor de n no cursor $\;\fbox{n= …}\;$ ao centro na janela da figura dinâmica

$\fbox{n=1}\; — \;\;\;$São dados uma circunferência azul de que se determinou (1.3) o centro $\;E\;$ e um ponto $\;D\;$ exterior a ela

$\fbox{n=2}\; — \;\;\;$Toma-se a reta a passar por $\;D\;$ pelo centro $\;E\;$ do círculo azul dado e os pontos $\;A\;$ e $\;C\;$ de interseção da circunferência com a reta $\;ED\;$ construída. Começamos por apresentar o problema - PROP.XVII. PROB. - da construção da tangente a uma circunferência $\;(E, EA)\;$ tirada de um ponto $\;D\;$ a ela exterior, isto é, da determinação do ponto $\;B\;$ de tangência da tangente que passa por $\;D\;$.
Desenha-se a circunferência $\;(E, ED)\;$ e a perpendicular a $\;AD\;$ em $\;C\;$ que se intersetam em $\;F\;$. Traça-se a reta $\;FE\;$ que interseta $\;(E, EC)\;$ em $\;B\;$ que é o ponto que procuramos.
$\;FEC\;$ e $\;BED\;$ são congruentes ($FE = ED, \; EC = BE \; \angle FÊC=\angle BÊD$)   comum e, por isso, o ângulo oposto a $\;FE\;$ de $\;FEC\;$ e o ângulo oposto a $\;ED\;$ de $\;BED\;$ são iguais. Sendo $\;CF\;$ perpendicular a $\;AD\;$ (por construção), terá de ser $\;BD\;$ perpendicular a $\;BE\;$ e $\;BD\;$ ser tangente a $\;(E, EC).\;$ □

$\fbox{n=3}\; — \;\;\;$
  • Como o triângulo $\;EBD\;$ é retângulo em $\;B\;$, por (47.1), sabemos que o quadrado de lado $\;EB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\; BD\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$EB^2+BD^2=ED^2$$
  • Por (6.2: PROP. VI. Liv II), já que $AE = EC$ o paralelogramo de lados iguais a $\;AD, \;DC\;$ acrescentado o quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$DA \times DC +BE^2 =ED2$$
Resumindo, o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;DB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ $$ED^2=DA \times DC +BE^2 =EB^2+BD^2$$ e, se removermos o quadrado de lado $\;BE\;$ da cada uma dessas duas figuras iguais em área, ficamos com os restos iguais, isto é:
o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;BD\;$ $$DA \times DC = BD^2$$ Assim fica provado este resultado para o caso da reta que passa por $\;D\;$ e $\; E\;$ cortando a circunferência em $\;A, \;C\;$ □


© geometrias. 3 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

Variando os valores de n no cursor ao alto, pode ver passos da construção interessantes para seguir a demonstração.


$\fbox{n=4}\; — \;\;\;$ Consideremos agora o caso das retas $\;DCA\;$ que não passam pelo centro $\;E\;$ da circunferência.
  • $\fbox{n=5}\; — \;\;\;$ E, para cada uma dessas retas $\;DCA\;$, consideremos a corda $\;AC\;$ e a perpendicular a ela tirada por $\;E\;$ (12.1) que a corta em $\;F\;$ ao meio (3.3) - $\;AF=FC\;$. E tracemos as retas $\;EC\;$ e $\;ED\;$.
    E sabemos que
    a) $\;\;\;ED^2=DB^2 + EB^2,\;$ porque $\;DBE\;$ é um triângulo retângulo em $\;B \;$ (47.1)
    b) $\;\;\;ED^2 =DB^2 + EC^2, \;$ porque $\;EB = EC\;$
    c)$\;\;\;EF^2 + FC^2 = EC^2, \;$ porque o triângulo $\;EFC\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
    d) $\;\;\;ED^2 = DF^2+FE^2, \;$ porque o triângulo $\;DFE\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
  • $\fbox{n=6}\; — \;\;\;$ Por ser $\;AF=FC\;$ e $\;DA =DC+CF+FA\;$, por (6.2)
    $$DA\times DC + CF^2 = DF^2$$
Acrescentando o quadrado de $\;EF\;$ a ambas as figuras — uma constituída pelo paralelogramo $\;DA, DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;CF\;$ e a segunda que é o quadrado de lado $\;DF\;$ iguais em área - obtemos duas figuras iguais em área (ax. 2.1): $$DA\times DC + CF^2 +EF^2 = DF^2 +EF^2$$ ou, por c) e d) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 =DE^2 $$ ou, por b) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 = EC^2+DB^2$$ e removendo o quadrado de lado $\;EC\;$ às duas figuras iguais em área, ficamos com restos iguais em área — o paralelogramo $\;DA, DC\;$ e o quadrado de lado igual à tangente $\;DB\;$ (ax 3.1)— $$DA \times DC = DB^2$$ tal como pretendíamos. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.
AXIOMA III
E se de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
PROP. XLVII. TEOR.
Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto
.......................................
Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. III. TEOR.
Se dentro de um círculo uma linha reta, que passa pelo centro, cortar outra que não passa pelo centro, em duas partes iguais também a cortará perpendicularmente. E se a cortar perpendicularmente, também a cortará em duas partes iguais.
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000
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