Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela exterior.

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Ao longo dos anos, apresentamos várias definições e várias construções para as cónicas recorrendo a condições com distâncias de ponto a ponto, de ponto a reta, de reta a reta. Vamos agora introduzir lugares geométricos dos pontos que verificam condições usando distâncias de ponto a circunferência, reta a circunferência e circunferência a circunferência. Nesta entrada, trataremos do lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto e a uma circunferência dados.

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Tomemos um ponto $\;A\;$ e uma dada circunferência $\;(O, r)\;$. A distância do ponto $\;A\;$ a $\;(O, \;r)\;$ é dada por

• $\;AO - r\;$ no caso de $\;A\;$ ser exterior à circunferência; <\li>
• $\;r-AO\;$ no caso de $\;A\;$ ser interior à circunferência;
• $\;0\;$ n caso de $\;A\;$ estar sobre a circunferência.

De um modo geral, podemos dizer que a distância de um ponto $\;P\;$ qualquer do plano a uma circunferência $\;(O, \; r)\:$ é dada por $$\; |PO-r|\;$$

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Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e um ponto $\;A\;$ exterior a ela.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;A. \;$ A distância de $\;A\;$ à circunferência é, pois, $\;AB_0= AO-r\;$ e o ponto $\;M-0\;$, médio do segmento $\;AB_0\;$ é equidistante de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

© geometrias, 30 de Novembro de 2014, Criado com GeoGebra

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$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existirem cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de $\;AB\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$Clicando sobre o botão $\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de $\;B\;$ verificará que, quando $\;B\;$ percorre a circunferência $\;(O, \;r),\;$ o ponto $\;P\;$ percorre uma hipérbole de focos $\;A\;$ e $\;O,\;$ como seria de esperar, já que $\;PA=PB=PO-r\;$ que é o mesmo que $\;PO-PA=r :\;$
A diferença $\;PO-PA\;$ das distâncias de $\;P\;$ a $\;A\;$ e a $\;O\;$ é constante (igual ao raio $\;r\;$da circunferência dada).