Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)

Problema: Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
       Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O$, dois pontos $\;P,\;Q\;$

Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;A\;$ da circunferência dada, de tal modo que $\;P\hat{A}Q\;$ seja um ângulo reto.

1. O lugar geométrico dos pontos tais que as retas tiradas para dois extremos $\;P\;\;,\;Q\;$ de um segmento fazem um ângulo é constituído por dois arcos de circunferências congruentes que têm por corda comum $\;PQ\;$. No caso, como $\;P\hat{A}Q$ é reto, o lugar geométrico são dois semicírculos, ou seja $\;PQ\;$ é um diâmetro. Obviamente, os extremos do diâmetro não são pontos do lugar geométrico (5º lugar geométrico da lista)
   

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   Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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   © geometrias, 16 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Construímos o lugar geométrico dos pontos tais que $\;P\hat{A}Q\;$ é reto; nada mais que a circunferência de diâmetro $\;PQ\;$, excetuando os seus pontos $\;P\;$ e $\;Q\;$ - tracejada a castanho, na figura.
3. Qualquer dos pontos de interseção da circunferência de diâmetro $\;PQ\;$ (centro $\;M\;$) com a circunferência dada de centro $\;O\;$, caso existam, resolve o problema.
4. No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\;A\;$ e $\;A'\;$.
O triângulo $\;APQ\;$ é retângulo em $\;A\;$. Tomemos os segundos pontos de interseção das retas $\;AP\;$ e $\;AQ\;$ com a circunferência de centro $\;O\;$ dada, que designámos por $\;B\;$ e $\;C\;$ respetivamente. Como $\;A\;, B\;, C\;$ são pontos da dada circunferência centrada em $\;O\;$, a hipotenusa $\;BC\;$ oposta ao ângulo reto em $\;A\;$, passa pelo ponto $\;O\;$.
O triângulo $\;ABC\;$ está bem definido e tem as propriedades requeridas pelo problema.
5. O triângulo $\;A'B'C'\;$ obtido de forma análoga ao $\;ABC\;$ é outra solução do problema.

Para a circunferência dada, fazendo variar algum dos pontos $\;P; \;Q\;$ (ou ambos) confirmará que pode haver duas, uma ou zero soluções.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (10)

Problema: Determinar uma circunferência de um dado raio e centro sobre uma dada reta que seja tangente a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O_0\;$, uma reta $\;a\;$ ; um segmento $\;r\;$.
2.
Para resolver este problema, basta-nos determnar um ponto $\;O\;$ sobre $\;a\;$ de tal modo que seja centro de uma circunferência de raio $\;r\;$ e tangente à circunferência dada de centro $\;O_0\;$.

• As circunferências de raio $\;r\;$ que tocam num só ponto uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0\;$ estão sobre uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0 + r\;$
• Traçada essa circunferência $\;(O_0, r+r_0 )\;$,lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;O_0P=r_0 +r\;$, só nos resta determinar a interseção dela com a reta $\;a\;$.
  No último passo toma-se $\;O\;$, um dos pontos de interseção de $\;(O_0, r+r_0 )\;$, e a circunferência $\;(O, r)$ (a vermelho) satisfaz as condições do problema.

Utilizámos tão só circunferências, ou seja o 1º lugar geométrico da lista.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$

© geometrias, 15 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa figura, a circunferência $\;(O_0, r_0+r) \;)$ interseta $\;a\;$ em dois pontos, ou seja há duas soluções para o problema.
Pode fazer variar o tamanho de $\;r\;$ e confirmar que pode haver uma só solução ou nenhuma. E poderá, estudar as condições de existência das soluções (dependendo de $\;r\;, \;r_0\;$, ...)

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

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Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.

• Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
• Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (8)

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Problema:Construir um triângulo de que se conhecem um ângulo, o lado a ele oposto e a mediana relativa ao lado conhecido.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados: dois pontos $\;B\;C\;$,segmento $\;a=BC\;$,comprimento da mediana $\;m_{BC}$, ângulo de amplitude $\;\alpha\;$.
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;A\;$ , 3º vértice do triângulo $\;ABC\;$ de que se conhecem $\;B,\;C\;$, sabendo que $\;\angle B\hat{A}C\;$ terá de ser igual a $\;\alpha\;$ e $\;AM_{BC}=m_{BC}\;$

1. O 5º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos, dos quais partem retas para os extremos $\;B,\;C\;$ de um segmento fazendo um ângulo $\;\alpha\;$, estão sobre dois arcos congruentes de duas circunferências com uma corda - $\;a=BC\;$ - comum.
2. O lugar geométrico dos pontos à distância $\; m_{BC}\;$ de $\;M_{BC}\;$, ponto médio de $\;BC\;$, estão na circunferência de centro $\;M_{BC};$ e raio $\; m_{BC}\;$ (1º lugar geométrico da lista)

© geometrias, 8 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (5º e 1º, para os dados do problema) são os pontos $\;A, \; \; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\;$.
Há, em consequência, quatro triângulos $\;ABC, \; \; A_1 BC ,\; A_2 BC,\; A_3 BC\;$, a vermelho na figura, que satisfazem as condições requeridas

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (6)

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Problema: Construir uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas e a passar por um ponto dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ e um ponto $\;P\;$ dados .
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;O\;$ a igual distância das retas paralelas e do ponto $\;P\;$.

1. O 2º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos equidistantes de uma reta $\;m\;$ estão sobre retas paralelas a ela. Assim, é óbvio que o lugar geométrico dos pontos $\;M\;$ equidistantes das retas $\;a, \; b\;$ à distãncia $\;d\;$ uma da outra, será a reta a elas paralela e a meia distância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ entre $\;a\;$ e $\;b\;$. Os pontos $\;O\;$ procurados estão, por isso, sobre $\;m\;$.
2. O lugar geométrico dos pontos à dstância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ de $\;P\;$ estão na circunferência de centro $\;P\;$ e raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista)

© geometrias, 6 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;O_1 \;\mbox{e} \; O_2 \;$ Há, em consequência, duas circunferências de raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ e centros $\;O_1 \;\mbox{e}\; O_2 \;$ que são soluções do problema.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

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Problema: Construir um triângulo $\;ABC\;$ de que são dados o lado $\;AB\;$, a altura $\;h_{AB}\;$ e a mediana $\;m_{AB}\;$ relativa ao lado dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ e dois segmentos mediana e altura .
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $\;C\;$, vértice oposto a $\;AB\;$ tal que:

1. o segmento da perpendicular a $\;AB\;$, tirada por $\;C\;$, $\;CH_{AB}\;$, tem comprimento igual ao segmento altura dado:
   • isto é, $\;C\;$ é um ponto do lugar geométrico dos pontos $P$ que distam da reta $\;AB\;$ uma altura que é constiuído pelas duas retas paralelas $\;c''\;$, que distam uma altura de $\;AB\;$ (2º lugar geométrico da lista).
   e
2. $\;CM_{AB}\;$ é igual ao segmento mediana dado
   • isto é, $\;C\;$ é um ponto do lugar geométrico dos pontos $P$ que distam do ponto $\;M_{AB}\;$, médio de $\;AB\;$, o comprimento da mediana que é uma circunferência de centro $\;M_{AB}\;$e raio igual à mediana dada. (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 5 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;C, D, E, F \;$ Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABF\;$.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

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Problema: Construir um triângulo $\;ABC\;$ de que são dados o lado $\: ;AB\;$, o ângulo $\;\gamma \;$ oposto ao lado dado e a diferença $k^2$ dos quadrados dos lados $AC$ e $BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ um ângulo $\;\gamma\;$ e $\;k$, sendo $\;k^2 = AC^2 - BC^2 $ . Na nossa figura apoiamo-nos numa construção auxiliar sobre $\;k\;$ dado, em que tomamos $A_0$ e $B_0$ como extremos do segmento $\; k\;$ e $\;P_0;$ como vértice de um triângulo retângulo de que é dado o cateto $\;A_0B_0 =k\;$: $\;k^2 + A_0P_0^2 = B_0P_0^2\;$
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $\;C\;$, vértice oposto a $\;AB\;$ tal que:

1. $\;\angle\;A\hat{C} B = \gamma$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ do qual as retas tiradas para os extremos de um segmento $\;AB\;$ formam um ângulo $\;\gamma\;$ dado que é constituído por dois arcos de circunferências congruentes das quais $\;AB\;$ é corda comum (5º lugar geométrico da lista).
   e
2. $|AC^2-BC^2|= k^2$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é dada a diferença $\;k^2\;$ dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é uma reta perpendicular a $\;AB\;$ (trata-se do 8º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos de interseção das circunferências $\;(A, A_0P_0)\;$ e $\;(B, B_0P_0)\;$ ou das $\;(A, B_0P_0)\;$ e $\;(B, A_0P_0)\;$ e as retas definidas, uma por cada par de pontos de cada uma dessas interseções).

© geometrias, 4 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (2º e 8º, para os dados do problema) são os pontos $\;C, D, E, F \;$ Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABF\;$.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

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Problema: Construir um triângulo $ABC$ de que são dados o lado $AB$, a altura $h$ relativa ao lado dado e a soma $k^2$ dos quadrados dos lados $AC$ e $BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ e dois segmentos $\;h\;$ e $\;k$, sendo $\;k^2 = AC^2 + BC^2 $
Chamámos $\;c\;$ à reta $\;AB;$.
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $C$:

1. $H_c C = h$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ que estão à distância $\;h\;$ de $\;AB\;$ que é constituído pelas duas retas $\;c', c'' \;$ (2º lugar geométrico da lista).
   e
2. $AC^2+BC^2 = k^2$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é constante a soma dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é a circunferência amarela de centro no ponto médio de $\;AB\;$ e cujo raio $\;MP\;$ é tal que $\;MP^2=PA^2+PB^2\;$ ou, como já vimos, $\; \displaystyle MP^2+MB^2=\frac{k^2}{2}\;$ ( trata-se do 9º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos N' e Q' que são os pés das perpendiculares a $\;AB\;$ tiradas pelos pontos $\;N\;$ e $\;Q\;$ de interseção da reta diagonal do quadrado de lado $AB$ com a circunferência centrada em $\;B\;$ e raio $\;k$).

© geometrias, 3 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa construção, há quatro soluções: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABE\;$.
Para além das condições de existência do 9º lugar geométrico é preciso que $ \; \displaystyle h\leq \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} \;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (3)

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Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos $\;A, B, C\;$ dados tenham razões $\;\displaystyle \frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{x}{z}$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos $\;A$ (azul), $\;B$ (verde) e $\;C$ (castanho) e três segmentos $\;x$ (azul), $\;y$(verde) e $\;z$(castanho)
Chamámos $\;a\;$ à reta $\;BC;$. Do mesmo modo, $\;b = AC$ e $\;c = AB$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;x\;$ de $\;A\;$ é a circunferência (azul tracejado) de centro em $\;A\;$ e raio $\;x\;$ (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;y\;$ de $\;B\;$ é a circunferência (verde tracejada) de centro em $\;B\;$ e raio $\;y\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;z\;$ de $\;C\;$ é a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;C$.

© geometrias, 1 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências $\;(A, x)\;$ e $\;(B, y)\;$ são correspondentes pelas homotetias $\;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\;$ e $\;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right)$: $\displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}$
Dito de outro modo, os pontos $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ dividem, interna e externamente, o segmento $\;AB\;$ em segmentos cuja razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. À circunferência de diâmetro $\;I_{AB} E_{AB}\;$ chamamos circunferência de Apolónio para o segmento $AB$ e a razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos $X$ tais que, para os triângulos $AXB$, os pés das bissetrizes do ângulo $\;A\hat{X}B\;$ sobre $\;AB\;$ são $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ que separam harmonicamente $\;AB\;$ e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão $\;\displaystyle \frac{x}{y}\;$. Os pontos $X$ dessas circunferências de Apolónio são tais que $\; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\;$ (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{y}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;B, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{BC}E_{BC}\;$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{x}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;A, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{AC}E_{AC}\;$ .
5.
Os pontos $\;P, Q\;$ de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros $\;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\;$ (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas. $$\frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z}$$ $$\frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}$$

No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q$. Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

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Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três retas $\;a, b, c\;$ dadas tenham razões $\;\displaystyle \frac{t}{u}, \frac{u}{v}, \frac{t}{v}$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas $\;a$ (azul), $\;b$ (castanho) e $\;c$ (verde) e três segmentos $\;t$, $\;u$ e $\;v$
Chamámos $\;A\;$ ao ponto de interseção das retas $\;b\;$ e $\;c\;$ : $\;\{A\} = b.c$. E do mesmo modo, $\;\{B\} = a.c$ e $\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', a''$(azul tracejado) paralelas a $\;a\;$ e a igual distância $\;t\;$ de $\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;u\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', b''\;$ paralelas a $\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;v\;$ de $\;c\;$ é constituído pelas retas $\;c', c''\;$ paralelas a $\;c$.

© geometrias, 26 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
Cada um dos pontos de interseção $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;u\;$ de $\;b\;$. E a razão das suas distâncias a $\;a\;$ e a $\;b\;$ é $\;\displaystyle \frac{t}{u}$. Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas $\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção $\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas $\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em $\;A\;$ e de vértices $\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas $\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em $\;B\;$ e vértices $\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$.
5.
Qualquer ponto $\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando $\;d_1\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;a\;$, $d_2$ à distância de $\;X\;$ a $\;b\;$ e $\;d_3\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;c\;$, sabemos que $$ \frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q, R, S$.
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e $\;t=u=v$, estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas $\;(b, c)$, $\;(a, c)\;$ e $\;(a, b)\;$, sendo os pontos procurados o incentro $\;I\;$ e os excentros $\;I_1, I_2, I_3$.

Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos

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Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos A, B, C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial - |n=1| - encontram-se os dados do problema: A, B, C,γ.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos A, B dados, basta determinar o seu centro O. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de [AB].
2.
Que tem O a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo γ dado de vértice C?
Procuramos o centro O de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por C formam um ângulo ∠TCT'= γ, em que T, T' são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio OA=OB=OT para o qual ∠OTC é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo γ de vértice C₀ triângulos ΔCT₀O₀ e ΔCT'₀O₀ e retângulos respetivamente em T₀ e T'₀, semelhantes entre si e aos ΔCTO e ΔCT'O.
Conhecemos agora T₀O₀ / C₀O₀ = TO / CO = AO / CO=BO / CO, constante para cada γ.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
|n=3|: -O é um dos pontos para os quais é uma constante k=T₀O₀ / C₀O₀ = AO / CO , ou seja, O está sobre a circunferência de Apolónio relativa a [AC] e constante k (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro I₁ e E₁, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em A e de raio T₀O₀ na circunferência centrada em C e de raio C₀Os₀.
4.
|n=4|: - Do mesmo modo, se sabe que O é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$, isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$.
5.
|n=5|: - Os pontos O e O' de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$, são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$.
6.
|n=6|: - Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$.

Construção do 9º lugar geométrico

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

1. Na anterior entrada, transcrevemos a proposta de H. Eves para a construção deste lugar geométrico. Assim
   • Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   • Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $B$.
   • A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.
   A figura que se segue, procura ilustrar e demonstrar essa proposta de determinação, por construção geométrica, dos elementos definidores do lugar geométrico, a saber $M, K, L$.

   © geometrias, 20 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Já vimos na anterior entrada que o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $PA^2+PB^2=k^2$ é a circunferência de centro em $M$, ponto médio de $AB$ que pode ser definida pela equação em $P$: $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$ que se pode escrever $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - BM^2$, por ser $AB=2BM$, ou ainda $\displaystyle PM^2+ MB^2 = \frac{k^2}{2}$
3. Assim, o raio $PM$ da circunferência dos pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2 =k^2$ pode ser obtido como um cateto de triângulo retângulo em $M$ de que o outro cateto é $BM$ e a hipotenusa é $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$
4. Ora $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$ é quanto mede o lado do quadrado de diagonal $k = BE$ raio da circunferência de centro em $B$, sendo $E$ um dos pontos de interseção da circunferência de raio $K$ com o segundo lado do ângulo de 45º em $A$. Um ponto $P$ do lugar geométrico obtém-se sobre a perpendicular a $AB$ tirada por $M$, extremo do lado $BP$ do quadrado de diagonal $k=BE$.
   $$MK=ML=PM : PM^2 + BM^2= \left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2$$
5. $PM\parallel GDK \parallel EFL$ :
   Projetam-se ortogonalmente sobre $AB$, da corda D$E$ da circunferência $(B, k) $, $D$ em $K$, $E$ em $L$ e o ponto médio de $DE$ em $M$ ponto médo de $AB$. Do mesmo modo, por simetria, para a corda $FG$ da circunferência $(A,k)$.

O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Temos como dados um comprimento $k$, e dois pontos $A$ e $B$. Para determinar algum ponto $P$ tal que $PA^2+PB^2=k^2$, começamos por construir um triângulo retângulo em $P_O$ de hipotenusa $k=A_0B_0$. Com centro em $A$ e raio $A_0P_0$ desenhamos uma circunferência e com centro $B$ e raio $B_0P_0$ outra. Um ponto $P$ de interseção destas duas circunferências, caso exista, verifica a condição $PA^2+PB^2=k^2$ de definição do 9º lugar geométrico
2. o botão de animação ligado a $P_0$ variável dá uma sugestão sobre qual será o conjunto dos pontos que procuramos - pelos traços de $P$ e $Q$.

   © geometrias, 14 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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   Deslocando manualmente $P_0$ ou clicando no botão de animação, obtemos um grande conjunto de pontos $P$ do 9º lugar geométrico, e a sugestão de que todos eles estarão sobre uma circunferência de diâmetro sobre a reta $AB$.
   Para voltar ao desenho original clique no botão da direita ao cimo da janela.
3. Que a nossa conjetura feita a partir da observação é correta pode ver-se assim:
   • Para qualquer triângulo $PAB$, sabemos que $2\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, temos $ 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + 2\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}$.
     Ora, como $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, calculando o quadrado escalar de $\overrightarrow{AB}$, temos
     $\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}$ ou $ 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2$
     E, assim, temos $\;\; 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 +\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2\;\;$ ou $\quad \quad{ \displaystyle PA^2+PB^2=2.PM^2+ \frac{AB^2}{2}}$
   • No caso de $P$ verificar a condição $PA^2+PB^2 = k^2$, $$k^2= 2. PM^2+\frac{AB^2}{2} \;\;\; \mbox{ou} \;\;\; PM^2 = \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$$
     Vimos assim que para os dados $k, A, B$, os pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2=k^2$, quando existem, estão sobre a circunferência   "$ PM^2 = \displaystyle \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4} $" , de centro $M$ e raio $ \displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}}$.
4. Seja $P$ um ponto qualquer do círculo de centro "$M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, para $A, B, k$ dados.
   • Se $P, A, B$ não são colineares, $PAB$ é um triângulo e como vimos antes, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, então $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2.PM^2 + \frac{AB^2}{2}$ e, sendo $P$ um ponto da circunferência considerada acima, o raio $PM$ é tal que $\displaystyle PM^2 = \frac{K^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$, de onde se pode concluir que $$PA^2+PB^2 = 2. \left(\frac{k^2}{2} -\frac{AB^2}{4}\right) + \frac{AB^2}{2}= k^2$$ Ou seja $P$ é um ponto do lugar geométrico.
   • Se $P$ é um dos pontos em que a reta $AB$ encontra a circunferência de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, como $$\overrightarrow{PA^2}+ \overrightarrow{PB^2}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})^2 + (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MA}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MB}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MB} $$ $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}, AM=BM, 2.AM=AB, 2.AM^2=AB^2$,
     $PA^2 + PB^2 = 2.PM^2+ 2.AB^2 = 2(\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4})+2.AB^2=k^2.$
     Ou seja, os pontos $P$ da circunferência de centro e raio referidos, colineares com $A$ e $B$, satisfazem a condição do lugar geométrico.
5. Só nos falta ver as condições de existência do lugar geométrico em si.
   Para $A \neq B$ a circunferência de que temos vindo a falar existe só e só quando $$\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \geq 0, \mbox{isto é, quando} \frac{k^2}{2} \geq \frac{AB^2}{4} $$
   • Para $\displaystyle k^2 = \frac{AB^2}{2}\;\; \mbox{ou seja, para}\;\; k= AB. \frac{\sqrt{2}}{2}$, a circunferência reduz-se ao seu centro $M$, ponto médio de $AB$:
     $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2}}{2}. {AB} \Leftrightarrow k^2= \frac{AB^2} {2} \Leftrightarrow \frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4} = 0 \Leftrightarrow PM^2 =0 \Leftrightarrow P=M $
   • Se $\displaystyle k^2 < \frac{AB^2}{2}$ não existe qualquer ponto $P$: $PA^2+PB^2 = k^2$, já que $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}$ e $\displaystyle 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}\geq \frac{AB^2}{2}$.
6. Para os valores de $k$: $\displaystyle k^2 >\frac{AB^2}{2}$, os pontos $P$ para os quais é constante $k^2$ a soma dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A$ e $B$ dados, é a circunferência de centro no ponto médio $M$ de $AB$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$
7. Para a construção deste lugar geométrico, H. Eves propõe os seguintes passos:
   1. Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   2. Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $A$.
   3. A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.

O oitavo lugar geométrico da lista - P tais que PA2-PB2 constante.

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O 8º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VIII. O lugar geométrico dos pontos para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos dados é uma reta perpendicular à reta que passa pelos dois pontos dados

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Tomamos os pontos $A$, $B$ e a reta $AB$ por eles definida.
2. Para um valor de $k$, pretendemos determinar um ponto $P$ tal que $PA^2 - PB^2=k^2$ que é equivalente a $PA^2+k^2=PB^2$. Para determinar a distância $PA$, desenhamos um triângulo retângulo de catetos $k$ e $B_0 P_0$ (variável), sendo a hipotenusa $A_0P_0$. Com centro em $A$, desenhamos uma circunferência de raio $A_0P_0$ e, com centro em $B$, desenhamos a circunferência de raio $B_0P_0$. Quando estas circunferências se intersetam, os pontos de interseção $P$ são tais que $PA^2-PB^2=k^2$, condição do 8º lugar geométrico.
   

   © geometrias, 9 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) permite acionar o deslocamento de $P_0$ sobre a reta $B_0P_0$, o que acarreta a variação dos comprimentos dos segmentos $B_0P_0$ e $A_0P_0$ e, logo, os pontos $P$ tais que $PA^2-PB^2= k^2$.
   Para cada $k$, após a animação e os traços deixados por $P$ na sua variação, sugerem-nos que o lugar geométrico é uma reta perpendicular a $AB$.
4. Precisamos de abordar alguns resultados vetoriais para determinar o lugar geométrico:
   • Consideremos o triângulo $PAB$, o ponto $M$ médio de $AB$ e o pé $H$ da perpendicular a $AB$ tirada por $P$, como podemos ver na figura inicial e a que podemos voltar sempre clicando no botão na direita alta da figura dinâmica.
   • Lembramos o produto escalar de dois vetores: $\overrightarrow {PA}.\overrightarrow{PB}=\overline{PA}.\overline{PB}.cos(A\hat{P}B)$.
     E, tendo em conta essa definição, por exemplo, $\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PA} = {PA}^2$ e $\overrightarrow{PH}.\overrightarrow{AH}= 0$.
     Calculemos a diferença dos quadrados de dois lados de $PAB$ , no caso $PA^2-PB^2$: ${PA}^2 -{PB}^2 = \overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{PB}^2= (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}).(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$.
     Como $\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2.\overrightarrow{PM}$, temos $PA^2 - PB^2 = 2.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}$. E, finalmente, por ser $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HM}$ e $PH \perp BA$, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{HM}$ podemos concluir $$PA^2 - PB^2 =2.\overline{AB}.\overline{MH}$$
5. Seja um ponto $P$ do lugar geométrico, ou que verifica a condição $PA^2-PB^2 = k^2$. Na alínea anterior estabelecemos que, para qualquer triângulo $PAB$, $PA^2- PB^2 = 2. AB. MH$. Por isso, $2.AB.MH = k^2$ ou seja $\displaystyle MH =\frac{k^2}{2.AB}$ Para dados $A$, $B$ e $k$, há um só $M$ e, logo, um só $H$. Por isso, o ponto $P$ do lugar geométrico está na perpendicular a $AB$ tirada por $H$.
6. • Será que qualquer ponto dessa perpendicular a $AB$ tirada por $H$ verifica a condição do lugar geométrico?
     Seja um ponto $P$ qualquer da perpendicular a $AB$ tirada por $H$, e consideremos o triângulo $PAB$. Sabemos que $PA^2-PB^2 = 2.AB.MH$. Como $\displaystyle MH=\frac{k^2}{2.AB}$, $\;\;PA^2-PB^2=k^2$.
   • Se $P \equiv H$, usando segmentos orientados: $HA^2-HB^2 = (\overline{HA}+\overline{HB}).(\overline{HA}-\overline{HB}) = 2.\overline{HM}. \overline{BA}= 2\overline{AB}.\overline{MH} = k^2$
     Ou seja $H$ também verifica a condição do lugar geométrico.
   Podemos concluir que o conjunto dos pontos, para os quais a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A, B$ dados é constante $k^2$, é a reta (ou o plano) perpendicular a $AB$ e num ponto $H$ definido por $2 \overline{MH}. \overline{AB}= k^2$

Se desejar tomar outro valor da constante $k$, basta deslocar $A_0$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 7º lugar geométrico da lista - pontos P tais que é constante a razão das suas distâncias a duas retas concorrentes dadas

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O 4º lugar geométrico da lista era defnido como conjunto de pontos $P$ a igual distância de duas retas concorrentes $a$ e $b$ (bissetrizes dos ângulos $\angle \hat{a, b}$). Concentremo-nos no 4º que é afinal um caso particular do 7º para $k=1$

O 7º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VII.O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão $k$ é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas.
O lugar geométrico (IV) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.

Usando o lugar
II. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta, a construção que se segue iustra bem o processo seguido, em tudo semelhante ao já usado antes:

1. Tomamos as retas $a$ e $b$ que se intersetam num ponto $O$, um seletor $d$ e um outro $k$.
2. Para um valor de $k$, tomamos uma circunferência centrada num ponto de $a$ e de raio $\;k.d\;$ e outra circunferência centrada num ponto de $b$ e de raio $d$. Para a primeira delas, tomamos o diâmetro perpendicular a $a$ e pelos seus extremos tiramos paralelas a $\;a - \;a_1, a_2\; -$ lugar geométrico dos pontos à distância $k.d$ de $a$. Do mesmo modo, obtemos as paralelas a $\;b - \;b_1, b_2\: -$ lugar geométrico dos pontos à distância $d$ de $b$.
3. As quatro retas $a_1 b_1 a_2 b_2$ formam um paralelogramo ($\; a_1 \parallel a_2, b_1 \parallel b_2\;$) cujas diagonais se bissetam em $\;O\;$ e de vértices $\;P_1 \;(a_1.b_1), P_2 \; (a_2.b_2), P_3 \; (a_2.b_2), P_4 \; (a_1.b_2)$. Estes pontos ${P_i: i=1, 2, 3, 4}$ estão à distância $d.k$ de $a$ e à distância $d$ de $b$, ou seja , são pontos tais que a razão das suas distâncias a $a$ e $b$ é $k$.
   

   © geometrias, 8 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. O botão de animação ao fundo à esquerda está ligado ao seletor $d$. Para cada valor de $k$, ao fazer variar $d$ obtemos um paralelogramo de vértices $P_i$ - extremos das diagonais $P_1P_3$ (sobre $l_1$) e $P_2P_3$ (sobre $l_2$) - que são do VII lugar geométrico que procuramos determinar.
   Mas será que, dados $a, b, k$, $l_1 \cup l_2$ é o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que é $k$ a razão das suas distância a $a$ e a $b$ ?
5. Consideremos um ponto $P$ de $l_1 \cup l_2$, $P \in l_1 \vee P \in l_2$, por exemplo, $P \in l_1$. Sabemos que para um dado valor $d_1$ de $d$, há um ponto $P_1 =a_1.b_1$ à distância $d_1$ de $b$ e à distância $k.d_1$ de $a$. As homotetias de centro $O$ transformam cada uma das retas $a, b, l_1, l_2$ em si mesmas. E transformam segmentos proporcionais em segmentos proporcionais na mesma razão, por isso, a homotetia de centro $O$ que transforma $P_1$ em $P$, transforma o segemnto $d_1$ da perpendicular a $b$ tirada por $P_1$ em $PH_b$ e o segmento $k.d_1$ da perpendicular a $a$ tirada por $P_1$ em $PH_a$. Por isso $PH_a=k.PHb$ e P é ponto do lugar geométrico que procuramos. Raciocínio análogo prova que um ponto de $l_2$ é ponto do lugar geométrico. O ponto $O (=l_1.l_2)$ é um ponto do lugar geométrico já que $ 0 = 0 \times k$
6. Reciprocamente: Seja um ponto qualquer $P: PH_a = k.PH_b$. Conduzamos por $P$ uma paralela $b'$ a $b$. Sobre esta $b'$ paralela a $b$, não há mais que dois pontos de $l_1 \cup l_2$ e, dada a definição de $P$, as interseções de $b'$ com $l_1 \cup l_2$ são pontos deste conjunto. Logo $P$ tem de ser um dos dois pontos da interseção $b'.(l_1\cup l_2)$, ponto de $l_1\cup l_2$. Como queríamos.

Notas:

• Usando o seletor $k$, pode ver o que acontece com outros valores da razão (constante), especialmente o que acontece com $k=1$.
• É interessante saber que: $\forall a, b$ {retas concorrrentes}, $\forall k \in \mathbb{R}^+$, $(a,b; l_1, l_2) =-1$. Ou seja, o feixe $(a,b; l_1, l_2)$ de centro $O$ é harmónico.
• O lugar geométrico dos pontos tais que é constante ($ k\neq 1$) a razão das suas distâncias a duas retas paralelas $a$ e $b$ é constituído por duas retas paralelas às dadas e com elas formando um feixe harmónico. E determina-se de um modo análogo ao usado com retas concorrentes.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 6º lugar geométrico da lista - pontos P tais que PA=k.PB, dados A, B e k≠1

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Os 3º e 4º lugares geométrico da lista eram defnidos como conjuntos de pontos $\;P\;$ a igual distãncia de dois pontos dados $\;A\;$ e $\;B\;$ - mediatriz de $\;AB\;$ - ou a igual distância de duas retas concorrentes $\;a\;$ e $\;b\;$ (bissetrizes dos ângulos $\;\angle \hat{a, b}.$
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para $\;k=1\;$ Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim $$\left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\}$$ e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
Quando as circunferências se intersetam temos pontos $\;P\;$ tais que $\;PA=PB. \;$ Um dos pontos do segmento $\;AB\;$ verifica essa condição: o ponto médio $\;M\;$ onde se tocam as circunferências de raio $\;\displaystyle \frac{AB}{2}\;$ centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
E se tomarmos $k\neq 1$?
VI. O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante $\;k>0 \wedge k\neq 1\;$ a razão das suas distâncias a dois pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ dados é a circunferência de diâmetro $\;IE, \;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ dividem $\;AB\;$ interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos $\;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}$?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:

1. Tomamos os pontos $\;A\;$ e $\;B,\;$ a reta $\;AB\;$, um seletor $\;d\;$ e um outro $\;k.\;$
2. Para um valor de $\;k, \;$ tomámos uma circunferência centrada em $\;B\;$ e de raio $\;d\;$ e outra circunferência centrada em $\;A\;$ e de raio $\;d.k$. Se estas circunferências se intersetarem em $\;C,\;$ este ponto está à distância $\;d\;$ de $\;B\;$ e $\;d.k\;$ de $\;A$. A razão das distâncias de $\;C\;$ a $\;A\;$ e de $\;C\;$ a $\;B\;$ é $\;k\;$ e $\;C\;$ será um ponto do lugar geométrico que procuramso determinar.
3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) está associado ao seletor $\;d$. Para um valor de $\;k$, para cada valor de $\;d\;$ (variável) obtemos $\;C\;$ e $\;D$, pontos do lugar geométrico referido a $\;A$, $\;B\;$ e esse valor de $\;k$. Os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$ deixam traço e pode acompanhar o desenho quando $\;d\;$ toma diferentes valores.
   

   © geometrias, 5 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. À semelhança do que aconteceu com o ponto $\;M\;$ médio de $\;AB\;$ para $\;k=1$, aqui também há um valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências $\;B(d)\;$ e $\;A(d.k)\;$ se tocam num ponto $\;I\;$ de $\;AB\;$ e um outro valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências se tocam num ponto $\;E$. Pode aproximar-se desses pontos deslocando o cursor $\;d$.
5. Para cada $\;k,\;$ estes $\;I\;$ e $\;E\;$ são os centros das homotetias de razão $\;\pm k\;$ que transformam $\;B\;$ em $\;A\;$ e as circunferências centradas em $\;B\;$ de raios $\;d\;$ nas circunferências centradas em $\;A\;$ de raios $\;d.k$
6. Na nossa construção, $\;\forall k>0 \; \; $ $ \;\frac{IA}{IB}=-k,\; \; \frac{EA}{EB}=k\; \;$ e $ \;\frac{AC}{BC}=k\;$ (razão entre os raios das duas circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ homtéticas de razão $\;k$):
   • $\;I\;$ divide internamente $\;AB\;$ em $\;AI\;$ e $\;IB$, sendo $\;AI=k.IB$.
   • $\;E\;$ divide externamente $\;AB\;$ em dois segmentos $\;AE\;$ e $\;EB,\;$ sendo $\;AE=k.EB$
7. Os pontos $\;I\;$ e $\;E\;$ separam harmonicamente $\;A\;$ e $\;B\;$, já que a razão dupla $$\;(AB, IE)=\frac{AI \times EB}{IB \times AE} = \frac{k}{-k} =-1$$ Para cada $\;(A,\; B,\; k)\;$, pode variar $\;d\;$ (e logo $\;C\;$), mantendo-se $\;I\;$ e $\;E\;$ inalterados. Estes pontos são os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo $\;\angle A\hat{C}B\;$ na reta $\;AB$, no triângulo $\;ABC\;$ em que $\;CA=k.CB$
8. Quer dizer que os pontos $\;C$: $\;CA=k.CB\;$ são do lugar geométrico que procuramos determinar e estão sobre a circunferência de diâmetro $\;IE$, já que $\;I\hat{C}E\;$ é um ângulo reto.
9. Para que a circunferência de diâmetro $\;IE\;$ seja o lugar geométrico que procuramos definir, só falta provar que qualquer ponto $\;P\;$ da circunferência de diâmetro $\;IE\;$ satisfaz a condição $\;\displaystyle \frac{PA}{PB}=k$. Sabemos que $\;I\;$ e $\;E\;$ satisfazem essa condição e que $\;(AB, IE) = -1$. O feixe de concorrentes $\;(PA, PB, PI, PE)\;$ é harmónico já que a secção por $\;AB\;$, $\;{A,B,I,E}\;$ é um quaterno harmónico, ou que $\;I\;$ é conjugado harmónico de $\;E\;$ relativamente a $\;A\;$ e $\;B$. Neste feixe harmónico, $\;PI \perp PE\;$ e, portanto, bissetrizes do ângulo $\;A\hat{P}B\;$. Por isso e por construção de $\;I\;$ e $\;E$: $$k=\frac{IA}{IB}=\frac{PA}{PB}$$
10. A esta circunferência de diâmetro $\;IE\;$ cujos extremos dividem $\;AB\;$ em segmentos cuja razão é $\;k\;$ chamamos circunferência de Apolónio para os pontos $\;A, \;B\;$ e valor $\;k$

Na construção, além de animar $\;d$, pode deslocar o ponto do seletor $\;k\;$ e verificar o que se passa quando $\;k\;$ toma diferentes valores, especialmente, quando $\;k\;$ toma o valor $\;1$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

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O 5º lugar geométrico da lista já foi usado em vários problemas ao longo dos anos.

V. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
Os primeiros cinco passos da construção que se segue determinam-se pontos que verificam as condições dadas e nos restantes organizam-se dados de uma possível construção demonstativa do que seja o lugar geométrico.

1. Começamos por mostrar, para além de um seletor [n], os dados: um segmento e seus extremos A e B; um ângulo α
2. Tomamos um ponto X a rodar em torno de A, ou seja, definidor de retas x a passar por A;
3. Marcamos uma reta r como segundo lado de um ângulo (xAr) igual a α ;
4. Por B tiramos retas paralelas a x e a r;
5. Essas quatro retas intersetam-se duas a duas em AQBP, sendo os ângulos por elas formados em P e Q iguais a α (alternos internos ou correspondentes em sistemas de retas paralelas cortadas por secantes), sempre que P está acima do segmento AB e Q está abaixo de AB.
6. Clicando sobre o botão de animação ao fundo à esquerda, ou movimentando manualmente o ponto X), obtemos pontos P e Q de que partem para A e B retas fazendo um ângulo dado α .

   Para acompanhar os passos da construção, desloque o cursor [n], do seletor, atendendo ao seguinte:

   © geometrias, 31 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

   Pode clicar sobre o botão ao cimo à diretia para voltar ao ponto de partida
7. A partir do passo 5, mostramos como habitualmente construímos com régua e compasso, este lugar geométrico.Começamos por construir sobre um dos extremos um ângulo BÂC=α como na figura. O centro O do arco que subtende o ângulo APB=α está na mediatriz de AB e na perpendicular a AC tirada por A:
   α=AÔC=BÂC por serem da mesma espécie e de lados perpendiculares AB⊥OC e AC⊥AO. Do mesmo modo se conclui que α=BÔC. E AÔB=2α Todos os ângulos inscritos na circunferência de centro O a passar por A e B nas condições descritas em que AÔB=2α
8. Obviamente que se APB não for reto, o lugar geométrico é formado por dois arcos, um da circunferência de centro em O e outro da circunferência e centro O' (imagem de O na reflexão de eixo espelho AB) ambas a passar por A e B. A e B não fazem parte do lugar geométrico já que nem o ângulo AAB nem ABB são iguais a α ≠ 0.
   Quando APB é reto, AB é diâmetro da circunferência e o lugar geométrico será constiuído por duas semicircunferências centradas no ponto médio de AB e abertas (já que A e B não são pontos do lugar geométrico relativo ao enunciado desta entrada ).

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Os 3º e 4º lugares geométricos da lista

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Os dois primeiros lugares geométricos referiam-se a pontos a uma dada distância de um ponto dado (o primeiro) e de uma reta dada (o segundo).
O terceiro e quarto referem-se aos pontos equidistantes de 2 pontos dados ou de duas retas dadas.

III. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (III) dos pontos a igual distância de dois pontos dados. Clique no botão de animação (ao fundo à esquerda) e seja paciente. Verá que

• o ponto médio M do segmento AB faz parte do lugar geométrico;
os pontos de interseção C e D das circunferências de iguais raios centradas em A e B, formam com A e B triângulos isósceles cujas alturas passam por M

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

IV. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (IV) dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas. Use o botão de animação ao fundo à esquerda.

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.

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Os lugares geométricos da LISTA (de Eves) são os seguintes:

1. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de um ponto dado é a circunferência tendo o ponto dado como centro e a distância dada como raio
2. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta.
3. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.
4. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.
5. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
6. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos A e B dados estão numa dada razão k≠1 é a circunferência de diâmetro IE, em que I e E dividem AB interna e externamente em segmentos na razão dada. (Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
7. O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão k é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas. O lugar geométrico (iv) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.
8. O lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma reta perpendicular à reta determinada pelos dos pontos dados.
9. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Todas estas construções podem ser feitas com as reta e a circunferência postuladas por Euclides. Praticamente todas foram abordadas neste geometrias .   Em duas entradas recentes sucessivas, a construção (i) foi realizada primeiro só com circunferência e depois demonstrada com reta e circunferência.

Aqui está a construção que ilustra o lugar geométrico (II) dos pontos a uma distância dada de uma reta dada.

© geometrias, 24 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Visto esse, podemos avançar o seguinte: O lugar geometrico dos pontos a igual distância de duas retas paralelas dadas é uma reta paralela às retas dadas e a meia distância das duas (referido em terceiro lugar da lista de Birkhoff)
Em futuras entradas, ilustraremos e abordaremos com maior ou menor detalhe os restantes lugares da lista, bem como alguns lugares geométricos que usam algum (ou alguns) dos lg da lista .

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
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Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica

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A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

© geometrias, 22 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
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Construções e existência: o lugar geométrico como método?

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Nas entradas anteriores, já referimos exemplos de axiomas, definições e postulados. Quando aceitamos os postulados, estamos a aceitar que para cada dois pontos distintos

1. há uma linha reta que por eles passa;
2. há uma circunferência centrada num deles e a passar pelo outro

Isto é o que fundamentalmente interessa, para o nosso estudo de geometria no plano (euclidiano). Usaremos estas aparentemente simples regras para realizar construções, sempre que construímos algum objeto que satisfaz a uma determinada condição, não só temos uma definição como temos assegurada a existência do definido ou que não é vazio o conjunto dos seres que nomeamos e atribuímos propriedades.
Depois de fixar as regras, o que fizemos foi determinar novos pontos ou figuras (conjunto de pontos) satisfazendo uma condição ou mais.
Determinámos uma circunferência de que conhecíamos o centro e cujo raio intervalo (raio) era dado por outros dois pontos. Para resolver essse problema, só precisámos de recorrer à definição de círculo e ao postulado da circunferência e concentrámo-nos em determinar um ponto de entre os pontos da figura procurada. Esse problema foi feito só com a circunferência postulada. Depois voltámos ao mesmo problema, com recurso à reta (régua) postulada e à circunferência (compasso) postulada.
Podemos resolver problemas só com circunferência, só com reta, com reta e circunferência. E sempre que encontrarmos um processo de resolução com reta e(ou) circunferência que prove a existência de uma figura relacionada com outra ficamos com uma ferramenta composta de vários passos construtivos com as primitivamente postuladas. E acrescentamo-las como ferramentas admissíveis (ou atalhos) ao nosso argumentário construtivo. Esta referência serve para lembrar que uma demonstração de existência ou construção deve poder ser reduzida a argumentos correntes (falados ou escritos) com base em axiomas, poucas regras simples, definições e cadeia de proposições (afirmações verdadeiras,....).
Claro que há muitos problemas que não se resolvem só com as postuladas reta e circunferência de dois pontos e isso, só quer dizer , que há figuras que podemos definir, mas de que não conseguimos provar a existência por construção recorrendo a ferramentas compostas a partir das inicialmente postuladas reta e circunferências por 2 pontos. Sabemos assim que há definições a que podem não corresponder construções com as regras admissíveis.... É bom termos uma imagem como prova do definido, é bom e preciso termos um discurso que substitua a imagem e é bom saber que há critérios para determinar o que pode ou não pode ser feito com as combinações das ferramentas postuladas por Euclides.
Nas próximas entradas vamos ocupar-nos de figuras planas construtíveis com as regras postuladas, isto é vamos resolver problemas de construção, muitos deles já abordados neste lugar por uma ou outra razão. Mas não seguimos as proposições (e suas demonstrações) nos "Elementos".
Varios autores sugerem com insistência uma abordagem autónoma do que habitualmente é nomeado por lugares geométricos como um método de construção e insistem na necessidade de conhecer um grande número de lugares geométricos - retas e círculos - construtíveis, a partir dos quais se podem determinar outros.
Os autores apresentam listas básicas distintas em número e, interessante também, com enunciados diferentes para os mesmos lugares geométricos.
As duas construções apresentadas nas entradas anteriores resolvem, de maneiras diferentes, o mesmo problema. Do mesmo modo, sabemos que a construção de um triângulo isósceles com base dada é a mesma da mediatriz de um segmento, da perpendicular a um segmento no seu ponto médio, do conjunto dos pontos que são equidistantes de dois pontos dados, ...

Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

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Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:

© geometrias, 14 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

1. São dados três pontos O, A, B.
2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
4. A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.

Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.

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Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.

Instrumentos euclidianos

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As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

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No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.

Casos de simetria de figuras. Não caso da inversão/reflexão

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Chamamos simetria de um conjunto de pontos (ou figura) a qualquer isometria que transforma o conjunto de pontos (ou figura) em si mesma. As isometrias do plano que fixam um conjunto de pontos são as simetrias desse conjunto de pontos. O conjunto das simetrias de uma figura, munido da composição, é um grupo - grupo das simetrias da figura.

1. Dizemos que o hexágono regular (à esquerda) é uma figura simétrica pela reflexão de eixo (espelho) representado pela reta vermelha. Admite para além desse eixo de simetria, outros cinco. A imagem do hexágono pela reflexão é o hexágono; para cada reflexão são invariantes os pontos do eixo que a define. O ponto de interseção dos eixos de simetria é um centro de simetria: as rotações de n.60º com n inteiro, em torno desse ponto transformam o hexágono em si mesmo; o centro da simetria é invariante para todas as simetrias de rotação; as rotações de n.360º deixam invariantes todos os pontos do hexágono regular. A simetria de meia volta também é considerada como simetria central ou relativa à reflexão em relação ao centro: a cada P da figura corresponde um ponto P' colinear com P e O(centro) tal que OP=OP'
2. Os triângulos equiláteros da figura II têm 3 eixos de simetria, mas o hexágono (não regular) não. Mas é fácil verificar que esse hexágono tem um centro de simetria - rotação de n.120º, com n inteiro. Claro que estas simetrias de rotação do hexágono II não pode ser considerada uma simetria central no sentido descrito antes para a figura I.

© geometrias, 3 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Notas sobre a inversão (reflexão) que, não sendo isometria do plano, não é simetria de figura do plano:
Dada uma circunferência, por exemplo, haverá alguma inversão (reflexão relativa a uma circunferência) que seja simetria da circunferência? Sabemos que uma circunferência qualquer é imagem de si mesma por inversão relativa a qualquer das suas ortogonais. Mas não é isometria, logo não é uma simetria da circunferência. E qualquer circunferência é inversa de si mesma pela inversão relativamente a si mesma. Mas, mesmo neste caso, em que a restrição da inversão à circunferência de inversão inverte cada ponto em si mesmo, não estamos perante uma simetria já que a inversão não é uma isometria do plano.

Reflexões

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Tomámos duas retas perpendiculares e uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto de interseção das retas perpendiculares. As figuras restantes podem ser obtidas como transformados do polígono (cimo direita, com vértices verdes) por refexões relativamente às retas perpendiculares e à circunferência.

© geometrias, 26 dezembro 2013, Criado com GeoGebra

Deslocando os vértices do polígono (pontos verdes) pode variar o polígono original e observar as mudanças nos corrrespondentes pelas reflexões.

Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação $\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Lembramos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; y=x^2 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para $(x,y)=(0,0)$, a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de $O$. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal $Z (\infty)$. O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.