22.2.14

Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos


Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos $A, B, C$ e um ângulo $\gamma$, determinar a circunferência que passa por dois deles $A$ e $B$ e subtende o ângulo $\gamma$ no terceiro ponto $C$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial -|n=1| - encontram-se os dados do problema: $A, B, C, \gamma$.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos $A, B$ dados, basta determinar o seu centro $O$. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de $AB$.
2.
Que tem $O$ a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo $\gamma$ dado de vértice $C$?
Procuramos o centro $O$ de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por $C$ formam um ângulo $T\hat{C}T' =\gamma$, em que $T, T'$ são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio $OA=OB=OT$ para o qual $O\hat{T}C$ é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo $\gamma$ de vértice $C_0$ triângulos $CT_0O_0$ e $CT'_0O_0$ e retângulos respetivamente em $T_0$ e $T'_0$, semelhantes entre si e aos $CTO$ e $CT'O$.
Conhecemos agora $\displaystyle \frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{TO}{CO}= \frac{AO}{CO}=\frac{BO}{CO}$, constante para cada $\gamma$.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra


3.
|n=3|: -$O$ é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{AO}{CO}$, ou seja, $O$ está sobre a circunferência de Apolónio relativa a $AC$ e constante $k$ (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro $I_1$ e $E_1$, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em $A$ e de raio $ T_0O_0$ na circunferência centrada em $C$ e de raio $C_0O_0$.
4.
|n=4|: - Do mesmo modo, se sabe que $O$ é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$, isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$.
5.
|n=5|: - Os pontos $O$ e $O'$ de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$, são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$.
6.
|n=6|: - Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$.
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