Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

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Problema: Construir um triângulo $ABC$ de que são dados o lado $AB$, a altura $h$ relativa ao lado dado e a soma $k^2$ dos quadrados dos lados $AC$ e $BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ e dois segmentos $\;h\;$ e $\;k$, sendo $\;k^2 = AC^2 + BC^2 $
Chamámos $\;c\;$ à reta $\;AB;$.
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $C$:

1. $H_c C = h$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ que estão à distância $\;h\;$ de $\;AB\;$ que é constituído pelas duas retas $\;c', c'' \;$ (2º lugar geométrico da lista).
   e
2. $AC^2+BC^2 = k^2$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é constante a soma dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é a circunferência amarela de centro no ponto médio de $\;AB\;$ e cujo raio $\;MP\;$ é tal que $\;MP^2=PA^2+PB^2\;$ ou, como já vimos, $\; \displaystyle MP^2+MB^2=\frac{k^2}{2}\;$ ( trata-se do 9º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos N' e Q' que são os pés das perpendiculares a $\;AB\;$ tiradas pelos pontos $\;N\;$ e $\;Q\;$ de interseção da reta diagonal do quadrado de lado $AB$ com a circunferência centrada em $\;B\;$ e raio $\;k$).

© geometrias, 3 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa construção, há quatro soluções: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABE\;$.
Para além das condições de existência do 9º lugar geométrico é preciso que $ \; \displaystyle h\leq \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} \;$