Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência \;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\; para circunferência de inversão e a parábola de equação \;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\; num dado referencial ortonormado xOy
Lembramos que, pela inversão I(O, 1), o inverso de um ponto P(x,y) é \;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right).
As coordenadas dos pontos P(x,y) da parábola (azul, na figura) verificam a condição \;\;\;\; y=x^2 \;. \begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}
Lembramos que, pela inversão I(O, 1), o inverso de um ponto P(x,y) é \;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right).
© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra
As coordenadas dos pontos P(x,y) da parábola (azul, na figura) verificam a condição \;\;\;\; y=x^2 \;. \begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}
e,para (x,y)≠(0,0)\;,
\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0
Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra.
Para (x,y)=(0,0), a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de O. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal Z (\infty). O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.:
" Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".
Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.
