O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

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O 5º lugar geométrico da lista já foi usado em vários problemas ao longo dos anos.

V. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
Os primeiros cinco passos da construção que se segue determinam-se pontos que verificam as condições dadas e nos restantes organizam-se dados de uma possível construção demonstativa do que seja o lugar geométrico.

1. Começamos por mostrar, para além de um seletor [n], os dados: um segmento e seus extremos A e B; um ângulo α
2. Tomamos um ponto X a rodar em torno de A, ou seja, definidor de retas x a passar por A;
3. Marcamos uma reta r como segundo lado de um ângulo (xAr) igual a α ;
4. Por B tiramos retas paralelas a x e a r;
5. Essas quatro retas intersetam-se duas a duas em AQBP, sendo os ângulos por elas formados em P e Q iguais a α (alternos internos ou correspondentes em sistemas de retas paralelas cortadas por secantes), sempre que P está acima do segmento AB e Q está abaixo de AB.
6. Clicando sobre o botão de animação ao fundo à esquerda, ou movimentando manualmente o ponto X), obtemos pontos P e Q de que partem para A e B retas fazendo um ângulo dado α .

   Para acompanhar os passos da construção, desloque o cursor [n], do seletor, atendendo ao seguinte:

   © geometrias, 31 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

   Pode clicar sobre o botão ao cimo à diretia para voltar ao ponto de partida
7. A partir do passo 5, mostramos como habitualmente construímos com régua e compasso, este lugar geométrico.Começamos por construir sobre um dos extremos um ângulo BÂC=α como na figura. O centro O do arco que subtende o ângulo APB=α está na mediatriz de AB e na perpendicular a AC tirada por A:
   α=AÔC=BÂC por serem da mesma espécie e de lados perpendiculares AB⊥OC e AC⊥AO. Do mesmo modo se conclui que α=BÔC. E AÔB=2α Todos os ângulos inscritos na circunferência de centro O a passar por A e B nas condições descritas em que AÔB=2α
8. Obviamente que se APB não for reto, o lugar geométrico é formado por dois arcos, um da circunferência de centro em O e outro da circunferência e centro O' (imagem de O na reflexão de eixo espelho AB) ambas a passar por A e B. A e B não fazem parte do lugar geométrico já que nem o ângulo AAB nem ABB são iguais a α ≠ 0.
   Quando APB é reto, AB é diâmetro da circunferência e o lugar geométrico será constiuído por duas semicircunferências centradas no ponto médio de AB e abertas (já que A e B não são pontos do lugar geométrico relativo ao enunciado desta entrada ).

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007