14.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)


Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.
  • Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
  • Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).


© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra


3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...
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