Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro \;O\; e dois pontos \;A\;B\; sobre ela; um segmento \;s=AC+BD\;.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos \;C, \;D\; da circunferência dada, tais que \;AC\; \parallel \;BD\; e \;s=AC+BD\;. \;ABCD\; será um trapézio inscrito na circunferência de centro \;O\; dada.
3.
A interseção das circunferências \;(O, OM)\; e \; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\; (caso existam), serão pontos médios de \;CD\; de acordo com as condições do problema. Conhecido \;N\;, como interseção da perpendicular a \;ON\; com a circunferência dada obtêm-se os pontos \;C\; e \;D\;
(\;CD\; é corda da circunferência dada de centro \;O\; e \;N\; é o ponto médio \;CD\;)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos \; N, \;N'\; e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido \;ACBD\; e \;AC'D'B\;
Pode fazer variar o tamanho de \;s\; e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a \;AB\; e em que os segmentos \;AB\; e \;CD\; se intersetam, ...
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro \;O\; e dois pontos \;A\;B\; sobre ela; um segmento \;s=AC+BD\;.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos \;C, \;D\; da circunferência dada, tais que \;AC\; \parallel \;BD\; e \;s=AC+BD\;. \;ABCD\; será um trapézio inscrito na circunferência de centro \;O\; dada.
- Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: \;AC\; \parallel \;BD\; e, em consequência, \;CD=AB\;. Os pontos médios \;M, \; N\; das cordas \;AB\; e \;CD\; estão à mesma distância de \;O\;. \;MO = NO\;. Isto é os pontos médios de \;AB\; e \;CD\; estão na circunferência \;(O, OM)\; (1º lugar geométrico da lista)
- Como \;MN\; é a mediana \;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\; do trapézio \;ABCD\; , \;N\; estará sobre a circunferência centrada em \;M\; e de raio \; \displaystyle \frac{s}{2}\; (1º lugar geométrico da lista).
© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
3.
A interseção das circunferências \;(O, OM)\; e \; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\; (caso existam), serão pontos médios de \;CD\; de acordo com as condições do problema. Conhecido \;N\;, como interseção da perpendicular a \;ON\; com a circunferência dada obtêm-se os pontos \;C\; e \;D\;
(\;CD\; é corda da circunferência dada de centro \;O\; e \;N\; é o ponto médio \;CD\;)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos \; N, \;N'\; e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido \;ACBD\; e \;AC'D'B\;
Pode fazer variar o tamanho de \;s\; e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a \;AB\; e em que os segmentos \;AB\; e \;CD\; se intersetam, ...
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